§ 3. Общее уравнение прямой

1). Ах + Ву + С = 0 (1)

Здесь А ≠ 0, В ≠ 0 (одновременно)

(1) − общее уравнение прямой.

Коэффициенты А и В можно рассматривать как координаты вектора = (А; В), перпендикулярного к прямой. Вектор = (А; В) − нормальный вектор прямой.

Частные случаи:

а) пусть В ≠ 0. Тогда (1) можно записать в виде

у = − х −

или, если А ≠ 0 и С ≠ 0,

у = kx + b,

где k = − ; b = − ;

если А ≠ 0, С = 0, то

у = − х = kx

и прямая проходит через начало координат;

если А = 0, С ≠ 0, то

у = − = b

и прямая параллельна оси ОХ;

если А = 0, С = 0, то

у = 0 − уравнение оси ОХ ;

б) пусть В = 0, А ≠ 0. Тогда (1) можно записать в виде

х = − = а;

если С ≠ 0, то х = а и прямая параллельна оси ОY;

если С = 0, то х = 0 − уравнение оси ОY.

2). Пусть прямая L проходит через точку М₀(х₀; у₀).

Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; у). Тогда вектор = (х−х₀; у−у₀) будет перпендикулярен нормальному вектору

= (А; В). Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю: ∙ = 0, т.е.

А(х − х₀) + В(у − у₀) = 0. (2)

(2) − уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀(х₀; у₀) перпендикулярно вектору = (А; В).

3). Пусть прямая L параллельна вектору = (т; п) ( − направляющий вектор) и проходит через точку М₀(х₀; у₀). Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; у). Уравнение этой прямой может быть получено из

условия коллинеарности векторов = (х − х₀; у − у₀) и = (т; п):

= . (3)

(3) − каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) параллельно направляющему вектору = (т; п).

4). Угол между прямыми

Пусть заданы две прямые

А₁х + В₁у + С₁ = 0, (а)

А₂х + В₂у + С₂ = 0. (b)

Найдем угол φ между этими прямыми. Так как векторы = (А₁; В₁) и = (А₂; В₂) перпендикулярны к прямым (а) и (b) соответственно, то угол φ между прямыми равен углу между векторами и . Значит,

cosφ = = . (4)

Условие перпендикулярности прямых:

В этом случае φ = , т.е. cosφ = 0. Тогда из (4) следует

А₁А₂ + В₁В₂ = 0. (5)

Условие параллельности прямых:

В этом случае нормальные векторы и коллинеарны и их координаты пропорциональны

= . (6)

5). Пусть вектор является нормальным вектором прямой L.

Вектор полностью определяет прямую L, т.к. через конец этого вектора проходит единственная прямая, перпендикулярная к этому вектору. Пусть | | = р и = (cosα; cosβ) − единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и . Построим радиус-вектор текущей точки прямой L. Проекция вектора на равна р, т.е. скалярное произведение

∙ = | | = р

или

∙ = р. (7)

(7) − векторное уравнение прямой.

Так как = (х; у), = (cosα; cosβ), то

∙ = х cosα + y cosβ = р

или

х cosα + y cosβ = р. (8)

(8) − нормальное уравнение прямой.

Уравнение (8) можно записать в виде

х cosα + y sinα = р. ( )

Если прямая L задана общим уравнением (1), то его можно привести к нормальному виду, умножив на нормирующий множитель

М = ,

где знак множителя берется противоположным знаку С в уравнении (1).

6). Расстояние от точки до прямой

Под расстоянием от точки М₀(х₀; у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 понимают длину перпендикуляра d = М₀M, опущенного из точки M₀ на прямую:

. (9)

Пример. Дано общее уравнение прямой

12х − 5у − 65 = 0.

Написать: а) уравнение прямой с угловым коэффициентом; б) уравнение прямой в отрезках; в) нормальное уравнение прямой.

□ а) Разрешим заданное уравнение относительно у:

5у =12х − 65 или у = х − 13.

Здесь k = , b = − 13.

б) Перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим обе части полученного уравнения на 65:

12х − 5у = 65, − = 1.

Переписав последнее уравнение в виде

+ = 1 или + = 1,

получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь а = , b = −13.

в) Находим нормирующий множитель М = ,

М = = .

Нормирующий множитель взят со знаком плюс, т.к. свободный член в заданном уравнении прямой с минусом. Умножив обе части общего уравнения на этот множитель, получим нормальное уравнение прямой

х − у = 5.

Здесь = , = − , р = 5. ■