§ 15. Экстремумы функции двух переменных

Точка М₀(х₀, у₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f(x, y), если существует некоторая окрестность этой точки, такая, что для всех точек М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

( )

при , .

Точки максимума или минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы − экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума

Если в точке М₀(х₀, у₀) дифференцируемая функция f(x, y) имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

,

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Точки, в которых , или не существуют называют критическими точками или точками возможного экстремума.

Пусть М₀(х₀, у₀) – точка возможного экстремума функции z = f(x, y).

Обозначим:

, , .

Достаточное условие экстремума

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка. Тогда

1. Если АС – В² > 0 и А < 0 ( С < 0), то в точке М₀ функция имеет максимум,

Если АС – В² > 0 и А > 0 ( С > 0), то в точке М₀ функция имеет минимум;

2. Если АС – В² < 0, то функция экстремума не имеет;

3. Если АС – В² = 0, то нужны дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию

.

□ 1. Находим критические точки:

, .

Решив систему, получим , т.е. нашли точку .

2. Находим вторые производные в критической точке :

, , .

Тогда

АС – В² = , А = 2 > 0 ( С =2 > 0).

Следовательно, в точке функция имеет минимум:

. ■

§ 16. Условный экстремум функции нескольких переменных

Пусть требуется найти локальный экстремум функции при условии, что переменные и удовлетворяют (связаны) уравнению связи , т.е. найти условный экстремум.

Если в уравнении связи можно выразить через , т.е. , то получим функцию одной переменной , экстремум которой можно легко найти. Аналогично можно в уравнении выразить через . Однако часто уравнение связи нельзя разрешить относительно одной из переменных.

Найдем условный экстремум, не разрешая уравнение связи относительно и .

Метод множителей Лагранжа

Найдем полную производную функции :

.

Следовательно, в точках экстремума

. (1)

Продифференцировав уравнение связи по . Получим

. (2)

Равенству (2) удовлетворяют все точки , лежащие на линии , задаваемой уравнением связи .

Умножим (2) на неопределенный пока коэффициент и сложим с (1):

или

. (3)

Равенство (3) выполняется во всех точках локального экстремума. Подберем так, чтобы для значений и , соответствующих экстремуму функции , вторая скобка (3) обратилась в нуль:

.

Тогда из (3) следует, что

.

Таким образом, в точках экстремума выполняются три уравнения:

(4)

с тремя неизвестными , и .

Решив систему (4), найдем критические точки ( дальше не понадобится ). Не всякая критическая точка есть точка экстремума, т.к. (4) является только необходимым условием существования экстремума.

Можно заметить, что левые части уравнений (4) есть частные производные функции

,

которую называют функцией Лагранжа .

Правило нахождения точек условного экстремума

1. Составить функцию Лагранжа.

2. Вычислить частные производные функцию Лагранжа по , и .

3. Составить и решить систему (4), тем самым определить критические точки.

4. Определить знак приращения в окрестности критических точек по тем точкам окрестности, которые удовлетворяют уравнению связи :

если > , то точка − точка минимума;

если < , то точка − точка максимума.

Рассмотренный метод можно распространить на исследование условного экстремума функции любого числа переменных.

Пример. Исследовать на условный экстремум функцию

при условии, что и связаны уравнением .

□ Составим функцию Лагранжа, найдем частные производные, составим систему и решим ее:

;

, , ;

или

Следовательно, точка = − критическая точка.

Подберем точку из окрестности точки , которая будет удовлетворять уравнению связи . Такой точкой может быть точка . Тогда

= = ,

= = .

Так как > , то точка = − точка минимума. ■