- •Содержание
- •§ 2. Предел функции …………………………………………123
- •§ 8. Дифференцирование неявной функции……...………...….134
- •Глава 1. Элементы теории пределов
- •§ 1. Числовые последовательности
- •§ 2. Предел числовые последовательности
- •§ 3. Монотонные последовательности
- •§ 4. Предел функции
- •§ 5. Замечательные пределы
- •§ 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 7. Непрерывность функции в точке
- •§ 8. Непрерывность функции на отрезке
- •Глава 2. Дифференцирование функции одной переменной
- •§ 1. Понятие производной
- •§ 2. Производные тригонометрических функций
- •§ 3. Производная логарифмической функции
- •§ 4. Производная от сложной функции
- •§ 5. Логарифмическая производная (логарифмическое дифференцирование)
- •§ 6. Производная степенной функции
- •§ 7. Производная показательной функции
- •§ 8. Дифференцирование неявной функции
- •§ 9. Дифференцирование обратной функции
- •§ 10. Производные обратных тригонометрических функций
- •§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Производные высших порядков
- •§ 14. Производные высших порядков от неявных функций
- •§ 15. Производные высших порядков от функций,
- •§ 16. Дифференциалы высших порядков
- •§ 17. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 18. Правило лопиталя
- •§ 19. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •§ 20. Угол между двумя кривыми
- •§ 21. Формула тейлора
- •§ 22. Исследование поведения функций и построение графиков
- •Глава 3. Векторные функции скалярного аргумента
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента
- •§ 3. Правила дифференцирования. Дифференциал. Производная единичного вектора
- •§ 4. Некоторые приложения векторных функций скаляроного аргумента
- •§ 5. Кривизна плоской кривой
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Предел функции
- •§ 3. Непрерывность функции
- •§ 4. Частные производные
- •§ 5. Полное приращение и полный дифференциал
- •§ 6. Дифференцирование сложной функции
- •§ 7. Полный дифференциал сложной функции
- •§ 8. Дифференцирование неявной функции
- •§ 9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 10. Формула тейлора для функции двух переменных
- •§ 11. Поверхности уровня и линии уровня
- •§ 12. Производная по направлению
- •§ 13. Градиент
- •§ 14. Касательная плоскость и нормаль к плоскости
- •§ 15. Экстремумы функции двух переменных
- •§ 16. Условный экстремум функции нескольких переменных
- •§ 17. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
- •Литература
Глава 2. Дифференцирование функции одной переменной
§ 1. Понятие производной
Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х.
Известно, что = − .
Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при → 0 (если этот предел существует):
= = .
Обозначения:
, , , , ;
значение производной в точке х = х0:
, , .
Если для некоторого х выполняется условие
= +∞ (или = −∞),
то говорят, что в точке х функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). Тогда ранее определенную производную иногда называют конечной производной.
Если функция имеет конечную производную в каждой точке х Х, то производную можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.
Операцию нахождения производной от функции называют дифференцированием этой функции.
Пример. Пусть = x2. Найти : а) в любой точке х; при х = 3.
□ а) Имеем
при х: = x2;
при : = ( )2.
Тогда
Δу = f(x + Δх) − f(x) = (x + Δх)2 − x2 = x2 + 2xΔ х + (Δх)2 − x2 = 2xΔх + (Δх)2.
Далее
= = = 2х,
т.е.
= = 2х.
Найдем значение производной в точке х = 3:
= 2·3 = 6. ■
Пример. Найти производную функции f(x) = .
□ Имеем
при х: = ;
при : = ( ).
Тогда
Δу = f(x + Δх) − f(x) = (x + Δх) − x = 2 (x + ).
Далее
= = = =
= х,
т.е.
= = х. ■
По аналогии с понятием правого и левого предела функции вводятся понятия правой и левой производных функции f(x).
Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) предельное значение (при условии, что это предельное значение существует).
Обозначение:
= , = .
Геометрический смысл производной:
= ,
т.е. значение производной при данном значении аргумента х равна тангенсу угла, образованного касательной К к графику функции f(x) в соответствующей точке М0(х, у) с положительным направлением оси ОХ.
Механический смысл производной:
Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону S = S(t), S – пройденный путь, t – время.
Пусть в момент времени t точка прошла путь: S = S(t);
в момент времени t + Δt точка прошла путь: S = S(t + Δt ).
Тогда за время Δt точка пройдет путь ΔS = S(t + Δt ) − S(t).
Отношение
=
является средней скоростью, а предел
= =
является мгновенной скоростью.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х = х0, если ее приращение Δу в этой точке можно представить в виде
Δу = АΔх + (Δх)Δх,
где А – некоторое число (А = ), не зависящее от Δх, а (Δх) – бесконечно малая функция при Δх → 0.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a,b] или интервала (a,b), то она дифференцируема на этом отрезке или интервале.
Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
Теорема. Если функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она непрерывна в этой точке.
○ Так как функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то
Δу = АΔх + (Δх)Δх.
Переходя к пределу при Δх → 0, получим
= А + · = 0,
т.е. функция непрерывна в точке х0 согласно второму определению непрерывности функции в точке. ●
Замечание 1. В общем случае обратное утверждение не верно.
Пример. □ Функция у = |x| в точке О (0,0) непрерывна, но производной в этой точке не существует
■
Свойства производной (правила дифференцирования):
10. = 0, С = const.
20. = 1.
Пусть и = и(х), v = v(x)
30. = ± .
40. = v + u .
Следствие.
= С , С = const.
50. = , v ≠ 0.
Таблица производных основных функций
1. = пхп-1,
в частности
= , = .
2. = = ,
в частности
= .
3. = ах ,
в частности
= ех.
4. = .
5. = .
6. = .
7. = .
8. = .
9. = .
10. = .
11. = .
12. Гиперболические функции:
= = = chx,
= = = shx,
= = = ,
= = = .
Замечание 2. Гиперболические функции:
Гиперболический синус: = , область определения = R, множество значений , нечетная, возрастает на .
Гиперболический косинус: = , = R, , четная, убывает на , возрастает на .
Гиперболический тангенс: = = , =R, , нечетная, возрастает на .
Гиперболический котангенс: = = , = , , нечетная, убывает на и на .
Некоторые тождества:
,
,
.
Графики гиперболических функций:
Пример. Найти производную функции у = х3( ) и вычислить ее значение в точке х = 1.
□ Используя правила дифференцирования и таблицу производных, получим
= = = = + =
= + 3х2 = х2( + 3)
или
= = ( ) + х3 = 3х2( ) + х3( +
+ ) = 3х2( ) + х3 = х2(3( ) + х· ) = х2(3 +
+ 3 + ) = х2( + 3).
Найдем значение производной в точке х = 1:
(1) = 12( · + 3) = . ■
Пример. Найти производную функции
у = .
□ Имеем
= = · = · =
= . ■