Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КЛ.Диф.Исч.Богданов.doc
Скачиваний:
31
Добавлен:
11.11.2019
Размер:
6.25 Mб
Скачать

Глава 2. Дифференцирование функции одной переменной

§ 1. Понятие производной

Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х.

Известно, что = − .

Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при → 0 (если этот предел существует):

= = .

Обозначения:

, , , , ;

значение производной в точке х = х0:

, , .

Если для некоторого х выполняется условие

= +∞ (или = −∞),

то говорят, что в точке х функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). Тогда ранее определенную производную иногда называют конечной производной.

Если функция имеет конечную производную в каждой точке х Х, то производную можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.

Операцию нахождения производной от функции называют дифференцированием этой функции.

Пример. Пусть = x2. Найти : а) в любой точке х; при х = 3.

а) Имеем

при х: = x2;

при : = ( )2.

Тогда

Δу = f(x + Δх) − f(x) = (x + Δх)2x2 = x2 + 2xΔ х + (Δх)2 x2 = 2xΔх + (Δх)2.

Далее

= = = 2х,

т.е.

= = 2х.

Найдем значение производной в точке х = 3:

= 2·3 = 6. ■

Пример. Найти производную функции f(x) = .

□ Имеем

при х: = ;

при : = ( ).

Тогда

Δу = f(x + Δх) − f(x) = (x + Δх) − x = 2 (x + ).

Далее

= = = =

= х,

т.е.

= = х. ■

По аналогии с понятием правого и левого предела функции вводятся понятия правой и левой производных функции f(x).

Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) предельное значение (при условии, что это предельное значение существует).

Обозначение:

= , = .

Геометрический смысл производной:

= ,

т.е. значение производной при данном значении аргумента х равна тангенсу угла, образованного касательной К к графику функции f(x) в соответствующей точке М0(х, у) с положительным направлением оси ОХ.

Механический смысл производной:

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону S = S(t), S – пройденный путь, t – время.

Пусть в момент времени t точка прошла путь: S = S(t);

в момент времени t + Δt точка прошла путь: S = S(t + Δt ).

Тогда за время Δt точка пройдет путь ΔS = S(t + Δt ) − S(t).

Отношение

=

является средней скоростью, а предел

= =

является мгновенной скоростью.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х = х0, если ее приращение Δу в этой точке можно представить в виде

Δу = АΔх + (Δхх,

где А – некоторое число (А = ), не зависящее от Δх, а (Δх) – бесконечно малая функция при Δх → 0.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a,b] или интервала (a,b), то она дифференцируема на этом отрезке или интервале.

Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

Теорема. Если функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она непрерывна в этой точке.

○ Так как функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то

Δу = АΔх + (Δхх.

Переходя к пределу при Δх → 0, получим

= А + · = 0,

т.е. функция непрерывна в точке х0 согласно второму определению непрерывности функции в точке. ●

Замечание 1. В общем случае обратное утверждение не верно.

Пример. □ Функция у = |x| в точке О (0,0) непрерывна, но производной в этой точке не существует

Свойства производной (правила дифференцирования):

10. = 0, С = const.

20. = 1.

Пусть и = и(х), v = v(x)

30. = ± .

40. = v + u .

Следствие.

= С , С = const.

50. = , v ≠ 0.

Таблица производных основных функций

1. = пхп-1,

в частности

= , = .

2. = = ,

в частности

= .

3. = ах ,

в частности

= ех.

4. = .

5. = .

6. = .

7. = .

8. = .

9. = .

10. = .

11. = .

12. Гиперболические функции:

= = = chx,

= = = shx,

= = = ,

= = = .

Замечание 2. Гиперболические функции:

Гиперболический синус: = , область определения = R, множество значений , нечетная, возрастает на .

Гиперболический косинус: = , = R, , четная, убывает на , возрастает на .

Гиперболический тангенс: = = , =R, , нечетная, возрастает на .

Гиперболический котангенс: = = , = , , нечетная, убывает на и на .

Некоторые тождества:

,

,

.

Графики гиперболических функций:

Пример. Найти производную функции у = х3( ) и вычислить ее значение в точке х = 1.

□ Используя правила дифференцирования и таблицу производных, получим

= = = = + =

= + 3х2 = х2( + 3)

или

= = ( ) + х3 = 3х2( ) + х3( +

+ ) = 3х2( ) + х3 = х2(3( ) + х· ) = х2(3 +

+ 3 + ) = х2( + 3).

Найдем значение производной в точке х = 1:

(1) = 12( · + 3) = . ■

Пример. Найти производную функции

у = .

□ Имеем

= = · = · =

= . ■