§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция у, зависящая от х, задана параметрическими уравнениями

х = , (1)

у = , (2)

где t – параметр.

Пример. □ Если точка движется на плоскости, то ее координаты х и у являются функциями времени t, т.е. уравнения х = , у = , где t – время, позволяют найти траекторию движения точки.

При t = t₁: х₁ = , у₁ = ;

t = t₂: х₂ = , у₂ = ;

t = t₃: х₃ = , у₃ = ;

t = t₄: х₄ = , у₄ =

и т.д.:

■

Найдем производную указанной функции.

○ Решая уравнение (1) относительно t, получим обратную функцию t = Φ(х). Тогда

у = , t = Φ(х),

т.е. получили сложную функцию

у = (Φ(х)),

t – промежуточный аргумент.

По правилу дифференцирования сложной функции:

= · = Φ^′(х). (3)

По правилу дифференцирования обратной функции:

Φ^′(х) = .

Подставляя в (3), получим

= или = . ●

Данная формула позволяет находить производную от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.

Пример. Найти , если

□ Согласно формуле дифференцирования функции, заданной параметрически, получим

= = = = . ■

§ 12. Дифференциал функции

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда приращение в некоторой точке х [a, b] можно записать в виде

Δу = Δх + (Δх)Δх, (1)

где = 0. Первое слагаемое Δх при Δх → 0 является бесконечно малой первого порядка относительно Δх и оно линейно относительно Δх. Второе слагаемое (Δх)Δх всегда есть бесконечно малая величина более высокого порядка относительно Δх, т.к.

= = 0.

Таким образом, первое слагаемое является главной частью приращения функции f(x).

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная, линейная относительно Δх часть приращения этой функции

dy = Δх. (2)

Пример. Найти дифференциал функции

у = 3х² + 5.

□ Согласно определению дифференциала:

dy = d(3х² + 5) = Δх = 6хΔх. ■

Найдем дифференциал функции у = х:

dy = dх = Δх = Δх,

т.е.

dх = Δх.

Таким образом, дифференциал dх независимой переменной х совпадает с ее приращением. Тогда формулу (2) можно записать в виде

dy = dх. ( )

Отсюда следует, что

= .

Геометрический смысл дифференциала:

Дифференциал функции f(x), соответствующий данным значениям х и Δх, равен приращению ординаты касательной к кривой у = f(x) в данной точке х.

Запишем (1) с учетом (2) в виде

Δу = dy + (Δх)Δх. (3)

Так как (Δх)Δх является бесконечно малой более высокого порядка, то

Δу ≈ dy

или

− ≈ Δх.

Пример. Найти Δу и dy функции у = х²:

1. при произвольных значениях х и Δх;

2. при х = 20 и Δх = 0,1.

□ Имеем

1. Δу = (x + Δх)² − x² = 2xΔх + (Δх)²; dy = Δх = 2xΔх.

2. Δу = 2·20·0,1 + 0,1² = 4,01; dy = 2·20·0,1 = 4,00.

Таким образом,

Δу ≈ dy. ■

В приближенных вычислениях используют приближенное равенство

≈ + Δх. (4)

Пример. Используя дифференциал, найти приближенное значение

.

□ Воспользуемся формулой

.

Определимся с выражением функции .

Тогда формула примет вид:

.

Найдем производную:

.

Следовательно,

.

Пусть , тогда

т.е.

. ■

Замечание. Используя выражение (4), можно показать, что при малых значениях :

≈ , ≈ , ≈ 1 + .

Свойства дифференциала:

1⁰. dC = 0, где С = const.

Пусть и = и(х), v = v(х).

2⁰. d(Cu) = Cdu.

3⁰. d(u ± v) = du ± dv.

4⁰. d(uv) = vdu + udv.

○ Имеем

dy = = ( v + u ) = v + u = =

= vdu + udv. ●

5⁰. d = , (v ≠ 0).

Пример. Найти дифференциал функции

у = .

□ Имеем

dy = d( ) = 2 = . ■

Найдем выражение для дифференциала сложной функции.

Пусть у = f(u), u = (x) или у = f( (x)).

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

= (x) или dy = (x) .

Но (x) = du, поэтому

dy = .

Сравним полученный дифференциал с

dy = dх.

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Такое свойство дифференциала называют инвариантностью формы дифференциала.

Пример. Найти дифференциал функции

у = .

□ Представим данную функцию как сложную:

у = , и = .

Находим

dy = dх, но dх = .

Следовательно, можно записать

dy = или dy = . ■