- •Содержание
- •§ 2. Предел функции …………………………………………123
- •§ 8. Дифференцирование неявной функции……...………...….134
- •Глава 1. Элементы теории пределов
- •§ 1. Числовые последовательности
- •§ 2. Предел числовые последовательности
- •§ 3. Монотонные последовательности
- •§ 4. Предел функции
- •§ 5. Замечательные пределы
- •§ 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 7. Непрерывность функции в точке
- •§ 8. Непрерывность функции на отрезке
- •Глава 2. Дифференцирование функции одной переменной
- •§ 1. Понятие производной
- •§ 2. Производные тригонометрических функций
- •§ 3. Производная логарифмической функции
- •§ 4. Производная от сложной функции
- •§ 5. Логарифмическая производная (логарифмическое дифференцирование)
- •§ 6. Производная степенной функции
- •§ 7. Производная показательной функции
- •§ 8. Дифференцирование неявной функции
- •§ 9. Дифференцирование обратной функции
- •§ 10. Производные обратных тригонометрических функций
- •§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Производные высших порядков
- •§ 14. Производные высших порядков от неявных функций
- •§ 15. Производные высших порядков от функций,
- •§ 16. Дифференциалы высших порядков
- •§ 17. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 18. Правило лопиталя
- •§ 19. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •§ 20. Угол между двумя кривыми
- •§ 21. Формула тейлора
- •§ 22. Исследование поведения функций и построение графиков
- •Глава 3. Векторные функции скалярного аргумента
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента
- •§ 3. Правила дифференцирования. Дифференциал. Производная единичного вектора
- •§ 4. Некоторые приложения векторных функций скаляроного аргумента
- •§ 5. Кривизна плоской кривой
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Предел функции
- •§ 3. Непрерывность функции
- •§ 4. Частные производные
- •§ 5. Полное приращение и полный дифференциал
- •§ 6. Дифференцирование сложной функции
- •§ 7. Полный дифференциал сложной функции
- •§ 8. Дифференцирование неявной функции
- •§ 9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 10. Формула тейлора для функции двух переменных
- •§ 11. Поверхности уровня и линии уровня
- •§ 12. Производная по направлению
- •§ 13. Градиент
- •§ 14. Касательная плоскость и нормаль к плоскости
- •§ 15. Экстремумы функции двух переменных
- •§ 16. Условный экстремум функции нескольких переменных
- •§ 17. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
- •Литература
§ 6. Производная степенной функции
Если у = , где п , то = п .
○ Имеем
у = ,
= = ,
= ,
= п· ,
= y· ,
= · ,
т.е.
= = п . ●
§ 7. Производная показательной функции
Если у = (0 < а ≠ 1), то = .
○ Имеем
у = ,
= = ,
= ,
= ,
= y ,
т.е.
= = . ●
В частности, если а = е, то = 1 мы получаем для функции у = :
= = .
§ 8. Дифференцирование неявной функции
Пусть функция у, зависящая от х, задана в неявном виде, т.е. уравнением
F(x, y) = 0.
В некоторых случаях указанное уравнение удается разрешить относительно у, и тогда можно перейти от неявного способа задания функции к явному у = f(x). В других случаях такой переход оказывается неосуществимым
Пример. □ Функция х2 + у2 − а2 = 0 задана в неявном виде, но, решив это уравнение относительно у, получим функцию, заданную в явном виде:
у = ±
и ее можно дифференцировать известным способом. Но неявную функцию
х2 − ху + = 0
нельзя записать в явном виде, но, тем не менее, ее можно продифференцировать. ■
Производная от неявной функции может быть определена следующим образом:
1. дифференцируем по х обе части уравнения F(x, y) = 0, рассматривая при этом у как функцию от х;
2. решаем полученное уравнение относительно .
В результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде
= f(x, y).
Пример. Найти производную функции
х2 − ху + = 0
и вычислить ее значение в точке (2;1).
□ Так как у является функцией от х, то будем рассматривать как сложную функцию от х. Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим
2х − у − х + = 0.
Решая последнее уравнение относительно , найдем выражение для искомой производной
= у − 2х,
= = ,
т.е.
= .
Найдем значение производной при х = 2, у = 1:
= = = 3. ■
§ 9. Дифференцирование обратной функции
Теорема. Если для функции у = f(x) существует обратная функция х = , которая в рассматриваемой точке у имеет производную = , отличную то нуля, то в соответствующей точке х функция у = f(x) имеет производную = , равную
= ( = ).
○ Возьмем приращение , тогда
= − .
Так как есть функция монотонная, то ≠ 0. Напишем тождество
= .
Так как непрерывна, то → 0 при → 0. Переходя к пределу при → 0 в првой части и при → 0 в левой части последнего равенства, получим
= или = . ●
Замечание. Можно обе части х = продифференцировать по х, считая у функцией от х. Тогда получим
1 = .
Отсюда
= .
§ 10. Производные обратных тригонометрических функций
Если у = , то = .
○ Функция у = является обратной для функции х = . Так как = , то, по теореме о производной обратной функции, получаем
= = = .
Знак перед корнем взят положительном, т.к. положителен на интервале − < y < . Учитывая, что = х, получаем
= = . ●
Если у = , то = − .
Доказательство аналогично предыдущему.
Если у = , то = .
○ Функция у = является обратной для функции х = . Так как = , то
= = .
Но = 1 + = 1 + х2. Следовательно,
= = . ●
Если у = , то = − .
Доказывается аналогично предыдущему.