§ 2. Предел функции …………………………………………123

§ 3. Непрерывность функции.…………………………………...124

§ 4. Частные производные…………………………...………….126

§ 5. Полное приращение и полный дифференциал………....... 127

§ 6. Дифференцирование сложной функции……..…………....131

§ 7. Полный дифференциал сложной функции………...………133

§ 8. Дифференцирование неявной функции……...………...….134

§ 9. Частные производные и дифференциалы высших

порядков…………………………………………………......135

§ 10. Формула Тейлора для функции двух переменных…..…...137

§ 11. Поверхности уровня и линии уровня…...…...………..…...139

§ 12. Производная по направлению…………...…...………..…..140

§ 13. Градиент……………………...…………...…...………..…...142

§ 14. Касательная плоскость и нормаль к плоскости ……...…...146

§ 15. Экстремумы функции двух переменных…………….........148

§ 16. Условный экстремум функции двух переменных………..150

§ 17. Наибольшее и наименьшее значения функции двух

переменных в замкнутой области ………………..……….153

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………..156

Глава 1. Элементы теории пределов

§ 1. Числовые последовательности

Если каждому числу из натурального ряда чисел

поставлено в соответствие действительное число , то множество действительных чисел

… , , … (1)

называется числовой последовательностью.

Числа … , , … − элементы (члены) последовательности;

− общий элемент (член) последовательности;

– номер элемента (члена) последовательности;

– числовая последовательность.

Формула, задающая , называется формулой общего элемента (члена) последовательности.

Например, последовательность задана формулой :

Примерами последовательностей являются прогрессии.

Действия над последовательностями:

1.

2.

3.

4. = : , , …, ,… .

Замечание. Далее будем использовать обозначения:

− квантор всеобщности; читается: любой, всякий, каждый.

– любое сколь угодно малое положительное число ;

− любое сколь угодно большое положительное число ;

− квантор существования; читается: существует, найдется.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. такие, что удовлетворяет неравенствам .

Последовательность называется неограниченной, если для существует элемент , удовлетворяющий неравенству (либо , либо ).

Если последовательность ограничена сверху, то все ее члены ; если снизу, то ; и сверху и снизу, то .

Пример. □ Последовательность : ограничена снизу , но не ограничена сверху. Следовательно, ее элементы .

Последовательность : 1, , ,…, ,… ограничена сверху и снизу, т.е. ограничена. Следовательно, . ■

Последовательность называется бесконечно большой, если для существует номер такой, что для всех номеров выполняется неравенство .

Последовательность называется бесконечно малой, если для существует номер такой, что для всех номеров выполняется неравенство .

Пример. □ Последовательность − бесконечно большая последовательность.

Последовательность − бесконечно малая последовательность. ■

Теорема. Если − бесконечно большая последовательность и все ее члены , то последовательность = − бесконечно малая последовательность, и, обратно, если − бесконечно малая последовательность, , то = − бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1⁰. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2⁰. Произведение бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3⁰. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.