§ 2. Предел числовые последовательности
Число
называется пределом
числовой
последовательности
,
если для
(номер)
такой, что для всех номеров
выполняется неравенство
.
При этом говорят, что последовательность сходится.
Запись:
или
при
.
Пример. Используя определение предела показать, что
.
□ Возьмем . Так как
,
то
для нахождения значений
,
удовлетворяющих неравенству
,
достаточно решить неравенство
,
откуда получим
.
Следовательно, за
можно взять целую часть числа
,
т.е.
.
Тогда неравенство будет выполняться для всех .
Так как – любое число, то доказано, что
.
Для наглядности полученного результата проведем вычисления на конкретных числах.
Пусть
.
Тогда
и при
имеем
.
Если
,
то неравенство
не выполняется. В самом деле, пусть
.
Тогда
,
а
если взять
,
например
,
то
.
Таким образом, неравенство выполняется только для номеров . ■
Геометрический смысл.
Распишем неравенство :
,
или
,
т.е.
элемент
находится в
точки
Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать следующим образом:
Число называется пределом последовательности , если для точки (номер) такой, что, все элементы с номерами находятся в этой .
Замечание 1. Предел бесконечно малой последовательности равен нулю, т.е. если − бесконечно малая последовательность, то
.
Бесконечно
большие последовательности имеют, как
говорят, бесконечный
предел,
равный
или
.
В этом случае ранее определенный предел называют конечным пределом.
Замечание 2. Пусть сходится и имеет предел . Тогда разность
является бесконечно малой последовательностью. Следовательно, сходящейся последовательности , имеющей пределом число , можно представить в виде
,
где
−
элемент бесконечно малой последовательностью
Запишем теоремы, описывающие основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема
3. Если
последовательности
и
сходящиеся, то
1.
=
±
;
2.
=
∙
;
3.
=
,
;
4.
=
,
.
Пример. Найти предел
.
□ При
числитель и знаменатель дроби стремятся
к бесконечности, т.е. имеем неопределенность
.
Применить
сразу теорему 3 нельзя, так как
последовательности
,
и
являются бесконечно большими
последовательностями, имеющими
бесконечные пределы. Наша задача
преобразовать заданную последовательность
так, чтобы получились бесконечно малые
последовательности, которые, как
известно, имеют предел, равный нулю. Для
этого достаточно разделить числитель
и знаменатель дроби на
в старшей степени, т.е. на
.
В результате получим
=
=
= !
Последовательности
и
являются бесконечно малыми и их предел
равен нулю. Сейчас уже можно применить
теорему 3.
!
=
=
=
=
=
.
■
Пример. Найти предел
.
□ Проведем преобразования:
=
=
=
=
=
=
= !
Делим
числитель и знаменатель на
в старшей степени, т.е. на
.
!
=
=
.
■
Замечание 3. Если находится предел отношения, то
=
=
Предельный переход в неравенствах:
Теорема
1.
Если элементы сходящейся последовательности
начиная с некоторого номера удовлетворяют
неравенству
,
то и предел
этой последовательности удовлетворяет
неравенству
.
Теорема
2. Пусть даны
три последовательности
,
и
,
связанные неравенствами
для всех
.
Тогда если
и
имеют один и тот же предел
,
то
также имеет предел
.