§ 20. Угол между двумя кривыми
Углом между двумя кривыми у = f1(x) и у = f2(x) в точке их пересечения М0(х0, у0) называется угол между касательными к этим кривым в точке М0. Этот угол определяется по формуле
=
.
Пример. Найти угол между параболами
у = 8 – х2 и у = х2.
□ Для нахождения координат точек пересечения заданных кривых решим систему уравнений
В
результате получим А(2;
4) и В(−2;
4). Продифференцируем уравнения парабол:
= −2х,
= 2х.
Найдем значения
и
для точки А(2;
4):
= −4,
= 4. Следовательно,
=
=
и
=
.
Аналогично
определяется угол между кривыми в точке
В(−2;
4):
=
.
■
§ 21. Формула тейлора
Теорема. Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка п + 1. Пусть х – любое значение аргумента из указанной окрестности, х ≠ а. Тогда между точками а и х найдется точка такая, что справедлива формула:
f(x)
= f(а)
+
(х
– а)
+
(х
– а)2+
…+
(х
– а)п
+
+
(х
– а)п+1.
Эту формулу называют формулой Тейлора.
Выражение
Rn+1(x) = (х – а)п+1
называют остаточным членом формулы Тейлора.
Запишем остаточный член в другом виде:
так как (а, х), то найдется число , 0 < < 1, что = а + (х – а) и тогда
Rn+1(x)
=
(х
– а)п+1,
0 <
< 1.
Эта форма остаточного члена наиболее употребительна в приложениях.
Если в формуле Тейлора а = 0, то получим формулу Маклорена:
f(x)
= f(0)
+
х
+
х2
+
… +
хп
+
Rn+1(x)
с остаточным членом
Rn+1(x)
=
хп+1,
0 <
< 1.
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
1. f(x) = ех.
Так как
f(x) = = = … = f п+1(x) = ех,
f(0)
=
=
= … = f
п+1(0)
= 1,
то формула Маклорена имеет вид
ех
= 1 +
+
+
+…+
+ Rn+1(x),
где
Rn+1(x)
=
хп+1,
0 <
< 1.
Аналогично можно разложить по формуле Маклорена следующие функции:
2. f(x) = .
= х
−
+
−
+
…+ (−1)т+1
+ R2т(x),
где
R2т(x)
= (−1)т
·
,
0 <
< 1.
3. f(x) = .
= 1
−
+
−
+
…+ (−1)т
+ R2т+1(x),
где
R2т+1(x)
= (−1)т+1
·
,
0 <
< 1.
4. f(x) = (1 + х)т.
(1
+ х)т
=1+
х+
х2+
х3+…+
+
хп
+Rn+1(x),
где
Rn+1(x)=
хп+1(1
+
)т-п-1,
0 <
< 1.
Пример. Вычислить число е.
□ Запишем разложение ех по формуле Маклорена:
ех = 1+ + + +…+ + хп+1, 0 < < 1.
Если заменить функцию ех ее многочленом Тейлора степени п (отбросим остаточный член), то получим приближенное равенство
ех
1 +
+
+
+…+
,
(1)
абсолютная погрешность которого
| Rn+1(x) | = | х |п+1, 0 < < 1.
Если рассматривать функцию ех для −1 ≤ х ≤ 1, то
|
Rn+1(x)
| ≤
<
.
Полагая в (1) х = 1, получаем приближенное значение числа
е
≈ 1+
+
+
+ …+
.
При этом | Rn+1(x) | < .
Если требуется вычислить значение е с точностью = 0,001, то число п определяется из неравенства
< 0,001, или (п + 1)! > 3000,
которое выполняется при п = 6. Следовательно,
е
≈ 1+
+
+
+ …+
.
Вычисляя с четырьмя знаками после запятой, получим
е ≈ 2,7180.
Три знака после запятой гарантированы. ■