Застосування днф

Метод зведення формул до ДНФ також можна використовувати для перевірки наявності/відсутності відношень логічного слідування, рівносильності, сумісності між формулами логіки висловлювань.

Формули ₁ і Φ₂ будуть сумісними, якщо ДНФ складної формули ₁ & ₂ не буде логічною суперечністю. Наприклад, отримане для формул p  q i p & q кон’юнктивне об’єднання:

(p  q) & (p & q)

має ДНФ:

~p  ~q

що не є логічною суперечністю. Отже p  q i p & q є сумісними.

Між формулами ₁ і Φ₂ існуватиме відношення логічного слідування, якщо ₁ і ~Φ₂ не будуть сумісними і, отже, якщо ДНФ складної формули ₁ & Φ₂ буде логічною суперечністю.

За допомогою зведення до ДНФ перевіримо, чи наявне між формулами:

p  (q  r) і (~q & ~r)  ~p

відношення логічного слідування.

[p  (q  r)] & ~[(~q & ~r)  ~p]  (~p  q  r) & ~[~(~q & ~r)  ~p] 

 (~p  q  r) & (~q & ~r & p)  (~p  q  r) & ~q & ~r & p 

 (r  ~p) & ~q & p & ~r  r & ~q & p & ~r.

Отримана за допомогою рівносильностей (16), (13), (14) ДНФ (у вигляді окремої ЕК) є логічною суперечністю. Тому, p  (q  r) i ~[(~q & ~r)  ~p] не є сумісними. Отже, p  (q  r) ╞ ~[(~q & ~r)  ~p].

Між двома формулами ₁ і Φ₂ наявне відношення рівносильності, якщо ДНФ формули ~(₁  Φ₂) виявиться логічною суперечністю.

Якщо звернемось до вищепроаналізованого прикладу встановлення рівносильності формул р  q і ~q  ~p і скористаємось уже отриманими результатами, тоді:

~[(p  q)  (~q  ~p)]  ~[(~p  q  p) & (~p  q  ~q)] 

 ~ (~p  q  p)  ~ (~p  q  ~q)  (p & ~q & ~p)  (p & ~q & q).

Отримана ДНФ виявилась логічною суперечністю. Тому, ₁  ₂ .

До теми 3 Метод аналітичних таблиць як процедура напіврозв’язуваності для логіки предикатів

Метод аналітичних таблиць застосовують у логіці предикатів як засіб встановлення правильності міркувань. Однак, у кванторній логіці аналітичні таблиці не є процедурою розв’язуваності для правильності та інших семантичних понять. У межах логіки висловлювань аналітичні таблиці є механічною і непогрішною технікою встановлення правильності міркувань. Вони залишаються такою технікою і у кванторній логіці, якщо усі предикати є одномісними. Коли ж з’являються багатомісні предикати, ситуація змінюється. Метод аналітичних таблиць залишається механічним, але перестає бути непогрішним: деякі таблиці не завершуються після скінченного часу (тобто, застосування аналітичних правил інколи призводить до безконечних таблиць).

Така ситуація може підштовхнути до пошуків іншого методу, який таки був би процедурою розв’язуваності для логіки предикатів. Проте, у 1936 р. американський логік Alonzo Church довів: логіка предикатів є нерозв’язуваною: для неї взагалі не існує процедури розв’язуваності. Логіка предикатів є настільки могутньою, що жодна ефективна процедура не може охопити її (будь-який метод демонстрації правильності, суперечності і т.д. в межах кванторної логіки на певному етапі продукує безконечні процедури або вимагає використання немеханічних інтуїцій).