Етап 2а етап 2б

 [~s  (~p  q)] & (~s  ~r)   ~s  [(~r&~p)  (~r & q)] 

 (~s  ~p  q) & (~s  ~r).  ~s  (~r&~p)  (~r & q).

Завершення етапу 2а. Завершення етапу 2б.

Отримали КНФ. Отримали ДНФ.

Зазначимо:

- кожну формулу логіки висловлювань можна звести (за допомогою рівносильних перетворень) і до КНФ, і до ДНФ;

- кожна формула логіки висловлювань може мати не одну, а декілька (точніше, безконечну кількість) КНФ і ДНФ, тобто КНФ і ДНФ деякої формули не є чимось унікальним.

Зведемо формулу p  q до КНФ.

Варіант 1.

p q  (p  q) & (q  p)  (~p  q) & (~q  p).

Варіант 2.

p q (p  q) & (q  p) (~p q) & (~q  p) (~p  q) & (~q  p) & (q  ~q).

Другий варіант КНФ отримуємо за допомогою кон’юнктивного приписування до КНФ (варіант 1.) логічного закону q  ~q. Таке приписування виправдовується рівносильністю (19): p & Т  p. Очевидно, що таких приписувань-розширень може бути скільки завгодно (з огляду на безконечну кількість логічних законів).

Так само, диз'юнктивне приписування до деякої ДНФ логічної суперечності, наприклад q & ~q, надає можливість отримання безконечної кількості варіантів її розширень на підставі рівносильності (22): p  F  p.

Зведемо формулу:

(~p  q) & (~q  r) & ~(~p  r)

до ДНФ:

(~p  q) & (~q  r) & (p & ~r)  (~p  q) & (~q  r) & p & ~r 

 [(p & ~r & ~p)  (p & ~r & q)] & (~q  r) 

 (p & ~r & ~p & ~q) (p & ~r & ~p & r) (p & ~r & q & ~q)  (p & ~r & q & r).

Отримали ДНФ, що є логічною суперечністю. Якщо до отриманої ДНФ приписати якусь суперечність, наприклад z & ~z, то отримаємо нову ДНФ, що буде рівносильною як по відношенню до першої ДНФ (як, зрештою, і по відношенню до будь-якої іншої можливої ДНФ цієї формули), так і до вихідної аналізованої формули.

Як за допомогою кнф перевірити, чи є формула логічним законом?

КНФ - це формула, що є рівносильною деякій аналізованій формулі  і формула, що є кон’юнктивним об’єднанням ЕД. Якщо в кожній ЕД наявна принаймні одна пара таких диз'юнктивних членів, один з яких є деякою змінною, а другий - її (цієї ж змінної) запереченням (тобто, якщо кожна ЕД має будову, наприклад: p  ~p  ...  ...), то кожна ЕД буде логічним законом (якщо p  ~p є тавтологією, то i вся ЕД також буде логічним законом на підставі рівносильності (20)). У такому випадку КНФ виявиться логічним законом, бо кожний її кон’юнкт (тобто, кожна ЕД-складник) є логічним законом. Тому, аналізована формула  (на підставі   КНФ_) буде логічним законом.

ВИСНОВОК: КНФ деякої формули логіки висловлювань є логічним законом, якщо кожний її кон'юнктивний член (тобто, кожна ЕД) міcтить принаймні якусь одну змінну одноразово із знаком заперечення і без нього.

Доведемо, що:

[(p  q) & p]  q

є логічним законом.

[(p  q) & p]  q  ~[(p  q) & p]  q  [~(p  q)  ~p]  q 

 ~(p  q)  ~p  q  ~(~p  q)  ~p  q  (p & ~q)  ~p  q 

 (~p  q  p) & (~p  q  ~q).

Перший крок - застосовуємо рівносильність (16). Другий крок - рівносильність (12). На третьому кроці позбавляємось першої і четвертої дужок. Четвертий крок - знову застосовуємо рівносильність (16). На п'ятому кроці повторно застосовуємо рівносильність (12). На останньому кроці використовуємо закон дистрибутивності (7). Отримана КНФ є логічним законом. Тому, вихідна формула також є логічним законом.