Аналітичні правила для кванторних формул (продовження)

Правила для кванторів відображають їх значення.

T_$*: T $xGx

T Ga*

a* мусить бути новою константою для гілки аналітичної таблиці

Правило стверджує, що у випадку T_$* можемо замінювати екзистенційну формулу одним її випадком, якщо константа, яку підставляємо замість змінної, є новою для гілки аналітичної таблиці, тобото такою, яка досі не зустрічалась у даній гілці (правило з обмеженням). Чому константа мусить бути новою?

Припустимо, що екзистенційне твердження

Хтось у цій аудиторії є шпигуном

є істинним (задля спрощення ситуації припустимо, що існує точно один шпигун в аудиторії). Це твердження не говорить хто саме в аудиторії є шпигуном. Однак, потребуємо якогось способу вказування на шпигуна (за допомогою уведення додаткової інформації з приводу цієї особи). В українській мові задля вказівки на цю людину (для її виокремлення) можемо використати просто слово „шпигун” або вжити займенник. Працюючи з аналітичними таблицями, такого ефекту виокремлення можемо досягти, уводячи ім’я для шпигуна (так само як в українській мові можемо досягти цього, сказавши: „назвемо шпигуна Джеймсом”, або „нехай його звуть Джеймс”) у вигляді константи, яка досі не зустрічалась ніде в гілці аналітичної таблиці. Ми повинні залучати нову константу, бо не можемо сказати точно (не знаємо напевне), хто саме в аудиторії є шпигуном. Навряд чи було б справедливим, звертаючись до Миколи, казати: „Хтось в аудиторії є шпигуном. Давайте назвемо його Микола”. Якщо не знаємо, які саме об’єкти роблять екзистенційне твердження істинним, то потребуємо нової константи задля унеможливлення незаконної (забороненої) ідентифікації (насправді Микола, що перебуває в аудиторії, зовсім не шпигун, а просто студент, який хоче стати соціологом).

Розглянемо приклад. Хочемо встановити, чи є $x(Gx & ~ Gx) логічною суперечністю:

0. T $x(Gx & ~ Gx)

1. T Ga & ~ Ga } T_$(0)

2. T Ga T_&(1)

3. T ~ Ga

4. F Ga } T_~(3)

+ (2, 4)

Таблиця виявилась замкненою, отже формула є логічною суперечністю.

F_$: F $xGx

F Ga

a може бути будь-якою константою

Це правило стверджує: константа, яку залучаємо, може бути/не бути новою для гілки аналітичної таблиці (правило без обмеження). Дозволяється використання будь-якої константи. Більше того, дане правило можна застосовувати неодноразово. Чому? Припустимо, що нам відомо: твердження „Хтось в аудиторії є шпигуном” є хибним. Тоді, можемо виснувати: хибно, що Андрій є шпигуном, що Олена є шпигункою, що Юрій є шпигуном і т.д. стосовно кожної особи, що перебуває в аудиторії.

Розглянемо приклад. Встановимо, чи є $x(Gx  ~ Gx) тавтологією:

0. F $x(Gx  ~ Gx)

1. F Ga  ~ Ga } F_$(0)

2. F Ga F_(1)

3. F ~ Ga

4. T Ga } F_~(3)

+ (2, 4)

Таблиця виявилась замкненою, отже формула є тавтологією.

В даному прикладі у рядку 1. випадок (instance) формули таки містить нову константу а, хоча правило F_$ цього не вимагає. Чому так трапляється? Бо жодна константа досі (до застосування правила) не з’являлась в гілці аналітичної таблиці.

Зазвичай, будемо уникати уведення нових констант. Будемо їх уводити лише за двох обставин: (1) коли цього вимагають правила з обмеженням: T_$* і F_"*; (2) коли гілка таблиці не містить жодних констант.

T_": T "xGx

T Ga

a може бути будь-якою константою

Правило стверджує: дозволяється використання будь-якого випадку універсальної формули. Константа не обов’язково мусить бути новою для гілки аналітичної таблиці, тобто може бути будь-якою (правило без обмеження). Більше того, можемо застосовувати правило неодноразово. Якщо кожен знає логіку, тоді, Андрій знає логіку, Олена знає логіку, Юрій знає логіку, Джеймс знає логіку, будь-хто в аудиторії знає логіку.

Розглянемо приклад. Встановимо, чи наявне відношення логічного слідування між формулами "xGx і $xGx.

0. F "xGx É $xGx

1. T "xGx FÉ(0)

2. F $xGx

3. T Ga } T_"(1)

4. F Ga } F_$(2)

+(3, 4)

Отже, дійсно "xGx ╞ $xGx.

F_"*: F "xGx

F Ga*

a* мусить бути новою константою для гілки аналітичної таблиці

Це – правило з обмеженням. Припустимо хибність твердження „Кожен викладач філософського факультету є доцентом”. Звідси випливає, що принаймні один викладач цього факультету не є доцентом. Ми не можемо виснувати нічого стосовно того, хто конкретно серед осіб викладачів цього факультету не є доцентами, але позаяк усе ж таки хочемо розмірковувати про них, потребуємо якихось засобів вказування на них, засобів їх виокремлення. Саме задля цього уводимо нову константу, яка буде відповідником фрази української мови „особа чи особи на факультеті, що не є доцентами”. Маємо правило з обмеженням, бо якщо константа не буде новою, тоді ми щось незаконно припускаємо стосовно ідентичності тих викладачів факультету, які не є доцентами.

Розглянемо приклад. Встановимо, чи є "x(Gx É Gx) тавтологією:

0. F "x(Gx É Gx)

1. F Ga É Ga } F_"(0)

2. T Ga F_É(1)

3. F Ga

+(2, 3)

Отже, дійсно формула є тавтологією.

В даному прикладі випадок (instance) формули таки містить нову константу, хоча правило цього не вимагає. Так трапляється тому, що досі (до застосування правила) жодна константа не з’являлась в гілці аналітичної таблиці.