Елементарна диз'юнкція і елементарна кон'юнкція

Нехай окрема пропозиційна змінна (або її заперечення) буде атомарною формулою. Тоді, наприклад:

p;

~p;

q;

~r;

s

будуть атомарними формулами, а

~ ~q

не буде.

Нехай A₁, A₂, ... , A_n (n  1) буде списком (послідовністю) атомарних формул. Тоді, формулу, що має будову:

A₁  A₂  ... A_n

називають елементарною диз'юнкцією (ЕД).

Будь-яку послідовність атомарних формул, об'єднаних диз'юнкцією  вважають ЕД. Наприклад:

p  q;

~p  q  ~r;

~q  p  q ~s;

p  p ~q

є ЕД.

В ЕД одна і та ж сама змінна може з'являтись із запереченням і без нього (третій випадок), а також неодноразово (четвертий випадок).

У випадку, коли n=1, окрему атомарну формулу також вважають ЕД, бо будь-яку окрему атомарну формулу, зокрема р, можна представити як p  p (на підставі закону ідемпотентності (9)).

Формулу, що має будову:

A₁ & A₂ & ... & A_n

називають елементарною кон'юнкцією (ЕК) (для атомарних формул A₁, A₂, ... , A_n , де n  1).

Приклади ЕК:

p & q;

~p & q & ~r;

~q & p & q & ~s;

p & p & ~q.

Так само, як і у випадку із ЕД, у ЕК одна і та ж сама змінна може з'являтись із запереченням і без нього (третій випадок), а також неодноразово (четвертий випадок).

У випадку, коли n=1, окрему атомарну формулу також вважають ЕК, бо будь-яку окрему атомарну формулу, зокрема q, можна представити як кон’юнкцію q & q (на підставі закону ідемпотентності (8)).

Кожна ЕД стає ЕК, якщо усі випадки  змінити на & (і навпаки).

Кон’юнктивна нормальна форма (кнф)

КНФ - це формула, що має будову:

B₁ & B₂ & ... & B_n ,

де B₁, B₂ , ... , B_n (n1) є ЕД.

КНФ - це послідовність ЕД, пов'язаних &. Наприклад:

(p  q) & (p  ~q  r) & (~r  s);

(p ~p  q) & ~s;

(p  ~q) & (p  ~q)

є КНФ (у другому прикладі другим членом КНФ є атомарна формула із запереченням ~s; у третьому прикладі КНФ складається із двох однакових ЕД).

У випадку, коли n=1, будь-яку окрему ЕД вважають КНФ. Дійсно, на підставі закону ідемпотентності (8), можемо стверджувати, наприклад щодо p  ~q:

p  ~q  (p  ~q) & (p ~q).

Будь-яку окрему атомарну формула також вважають КНФ на підставі законів (8) і (9). Дійсно, можемо стверджувати, наприклад щодо p:

p  p р  (p  р) & (p  р)

або

p  p & р  (p  р) & (p  р).

Диз'юнктивна нормальна форма (днф)

ДНФ - це формула, що має будову:

B₁  B₂  ...  B_n ,

де B₁, B₂ , ... , B_n (n1) є ЕК.

ДНФ - це послідовність ЕК, пов'язаних . Наприклад:

(p & q)  (p & ~q & r)  (~r & s);

(p & ~p & q)  ~s;

(p & ~q)  (p & ~q).

У випадку, коли n=1, будь-яку окрему ЕК вважають ДНФ, бо на підставі закону ідемпотентності можемо стверджувати, наприклад щодо

p & ~q:

p & ~q  (p & ~q)  (p & ~q).

Будь-яку окрему атомарну формулу також вважають ДНФ на підставі законів (8) і (9). Дійсно, можемо стверджувати, наприклад щодо p:

p  p р  (p & р)  (p & р)

або

p  p & р  (p & р)  (p & р).

Зрештою, будь-яка КНФ стає ДНФ (і навпаки), якщо всі  змінити на &, а всі & змінити на .

Наслідком запропонованих дефініцій є: усі ЕК і ЕД є одночасно і КНФ, і ДНФ.

Розглянемо ЕК, наприклад:

p & ~q & r.

Ця ЕК є КНФ. ЕД цієї КНФ представлені окремими пропозиційними змінними. На підставі закону ідемпотентності:

p & ~q & r  (p  p) & (~q  ~q) & (r  r),

що очевидно є КНФ.

ЕК:

p & ~q & r

є водночас і ДНФ. Маємо граничний випадок, коли кількість ЕК дорівнює 1. На підставі закону ідемпотентності (9):

p & ~q & r  (p & ~q & r)  (p & ~q & r),

що очевидно є ДНФ.

Розглянемо ЕД, наприклад:

p  ~q  r.

Ця ЕД є ДНФ. ЕК цієї ДНФ представлені окремими пропозиційними змінними. На підставі закону ідемпотентності (8):

p  ~q  r  (p & p)  (~q & ~q)  (r & r),

що очевидно є ДНФ.

ЕД:

p  ~q  r

є водночас і КНФ. Маємо граничний випадок, коли кількість ЕД дорівнює 1. На підставі закону ідемпотентності (8):

p  ~q  r  (p  ~q  r) & (p  ~q  r),

що очевидно є КНФ.