Аналітичні правила для кванторних формул

Метод аналітичних таблиць для логіки предикатів використовує уже відомі аналітичні правила для логічних сполучників, але додатково залучає чотири нові правила для кванторних формул. Кожний квантор має два правила, що стосуються випадків їх істинності та хибності.

T_" T "xGx T_$ T $xGx

T G T G*

F_" F "xGx F_$ F $xGx

F G* F G

Два різновиди аналітичних правил:

- правила без обмеження T_" і F_$ : замість індивідної змінної ‘x’ можна підставляти будь-яку індивідну константу;

- правила з обмеженням (*) F_" і T_$ : замість індивідної змінної ‘x’ можна підставляти лише таку індивідну константу, яка не зустрічалась в жодній попередній формулі тієї гілки аналітичної таблиці, в якій застосовується дане правило з обмеженням.

Часткові випадки (instances) формул

Правила для кванторів залучають поняття часткового випадку. Нехай Ga є результатом підстановки константи а замість кожного входження змінної х до відкритої формули Gx. Якщо "xGx і $xGx є формулами мови логіки предиккатів, тоді Ga називають частковим випадком цих формул. В свою чергу, "xGx і $xGx є узагальненнями (generalizations) для Ga.

Приклади:

Формули Часткові випадки

$xSx Sa

"y(Sy É Gb) Sb É Gb

"x"ySxy "ySay

$x"y($zSzx « $wGwy) "y($zSzc « $wGwy)

Кожну формулу праворуч отримують, змінюючи відповідну формулу ліворуч: усувають квантор, що є головним сполучником формули і замінюють відповідну цьому квантору індивідну змінну (кожне її входження) константою. Якщо константа, яка замінює індивідну змінну є такою, що уже наявна у вихідній формулі, то отриманий частковий випадок називають неконсервативним. Якщо константа, яка замінює індивідну змінну є такою, що не зустрічалась у вихідній формулі, то отриманий частковий випадок називають консервативним.

Приклади можливих помилок під час отримання часткових випадків формул:

Формула Псевдо-частковий Причина помилковості

випадок формули

$xSx Sz Змінну замінили на

змінну, а не не константу

"ySy É Gb Sb É Gb Квантор не є головним

сполучником

"x"y(Sxy É Syх) "y(Scy É Syх) Константа замінює не

кожне входження

відповідної індивідної

змінної

$x(Sx & "yGxy) Sa & "yGby Різні константи

замінюють одну і ту ж

саме змінну