Процедура зведення формул логіки висловлювань до

КНФ і ДНФ.

Процедура зведення передбачає пошук для деякої формули логіки висловлювання її КНФ і ДНФ, що є рівносильними із нею.

Кроки процедури є однотипними: послідовна заміна окремих частин (або усієї) досліджуваної формули на рівносильні формули. Процедура зведення спирається на відомі рівносильності (закони) логіки висловлювань.

КНФ або ДНФ деякої формули  є рівносильними із нею:

•  КНФ_ ,

•  ДНФ_ ,

тобто, тавтологіями є відповідні еквіваленції:

╞   КНФ_ ,

╞   ДНФ_.

Зведення формули до її КНФ / ДНФ поділяють на два етапи. Перший етап є спільним для зведень обох типів:

Е т а п 1.

Мета - отримати формулу, якій притаманні властивості:

(і) подвійне заперечення ( ~ ~ ) ніде не зустрічається;

(іі) у формулі наявні лише такі логічні сполучники: &, , ~;

(iii) заперечення ( ~ ) з'являється лише перед пропозиційними змінними.

Умови (і)-(ііі) є загальними вимогами до синтаксичної будови нормальних форм.

Після зняття подвійних заперечень, а також після відповідних рівносильних перетворень, що призведуть до наявності у формулі лише &, , ~ вимоги (і)-(іі) будуть виконані. Однак, можливо, що заперечення

( ~ ) зустрічатиметься у формулі десь перед дужками. Позаяк всередині дужок після кроків (і)-(іі) у формулі можуть зустрічатись лише & чи , то її частини можуть мати загальний вигляд форми:

(а) ~ (... & ...)

або

(б) ~ (...  ...).

У випадку (а) можемо застосувати закон Де Моргана (14) і замінити заперечення кон'юнкції диз'юнкцією заперечень. У випадку (б) можемо застосувати інший закон Де Моргана (15) і замінити заперечення диз'юнкції кон'юнкцією заперечень. В результаті застосування (14) і (15) заперечення

( ~ ) знову може з'явитись перед дужками. Повторюючи застосування рівносильнлстей (14) і (15), зрештою отримаємо формулу, в якій заперечення існуватиме лише перед пропозиційними змінними. Умова (ііі) буде виконаною і, отже, завершиться перший етап зведення формули до її нормальної форми.

Після виконання умов першого етапу шляхи зведення формули до її КНФ/ДНФ будуть відрізнятись. Охарактеризуємо їх окремо для КНФ і ДНФ.

Е т а п 2а (продовження для КНФ).

Якщо в результаті першого етапу не отримуємо КНФ, то це трапляється тому, що в одному або у декількох місцях наявна &, що підпорядковується  (якби цього не було, то виконання умов (і)-(ііі) уже забезпечило б наявність КНФ). Отже, деяка частина формули матиме будову:

(в) ...  (... & ...).

Застосування закону дистрибутивності (7) змінить (в) на формулу, що має будову:

(г) (...  ...) & (...  ...),

де  стає підпорядкованою (на відміну від випадку (в)). За необхідності можна повторювати застосування рівносильності (7) доти, доки у всіх випадках & підпорядковуватиме . Зрештою, отримаємо КНФ (необхідно переконатись, що всі кон’юнкти КНФ є ЕД).

Е т а п 2б (продовження для ДНФ).

Якщо в результаті першого етапу не отримуємо ДНФ, то в деякій формулі наявна принаймні одна , що підпорядковується &, тобто деяка частина отриманої формули матиме вигляд:

(д) ... & (...  ...).

Застосовуючи закон дистрибутивності (6), замінюємо (д) на:

(е) (... & ...)  (... & ...)

і, повторюючи за необхідності застосування рівносильності (6), зрештою отримуємо диз'юнктивну формулу, в якій  буде підпорядковувати &, тобто ДНФ (необхідно переконатись, що всі диз’юнкти ДНФ є ЕК).

Приклад-ілюстрація етапів побудови КНФ і ДНФ. Зведемо формулу

s  ~[(p  q)  r]

до її КНФ і ДНФ.

Етап 1

s  ~[(p  q)  r] 

 ~s  ~[(p  q)  r] 

 ~s  ~[~(~p  q)  r] 

 ~s  [(~p  q) & ~r] 

(завершення етапу 1 )

_________/ \______________