Як за допомогою днф перевірити, чи є формула логічною суперечністю?

ДНФ - це формула, що є рівносильною деякій аналізованій формулі  і формула, що є диз’юнктивним об’єднанням ЕК. Якщо в кожній ЕК наявна принаймні одна пара таких кон’юнктивних членів, один з яких є деякою змінною, а другий - її (цієї ж змінної) запереченням (тобто, якщо кожна ЕК має будову, наприклад: p & ~p &... &...), то кожна ЕК буде логічною суперечністю (якщо p & ~p є логічною суперечністю, то і вся ЕК, на підставі рівносильності (21), також буде логічною суперечністю). У такому випадку ДНФ буде логічною суперечністю, бо кожний її диз’юнкт (тобто, кожна ЕК-складник) є логічною суперечністю. Тому, аналізована формула  (на підставі   ДНФ_) є логічною суперечністю.

ВИСНОВОК: ДНФ деякої формули логіки висловлювань є логічною суперечністю, якщо кожний її диз'юнктивний член (тобто, кожна ЕК-складник) містить принаймні одну змінну одноразово із знаком заперечення і без нього.

Доведемо, що:

~{[(p  q) & ~q]  p}

є логічною суперечністю.

~{[(p  q) & ~q]  p}  ~{~[(p  q) & ~q]  p} 

 [(p  q) & ~q] & ~p  (p  q) & ~q & ~p 

 (~q & ~p & p)  (~q & ~p & q).

На першому кроці використовуємо рівносильність (16). На другому - застосовуємо закон де Моргана (13). На третьому кроці позбавляємось першої і четвертої дужок. На четвертому кроці застосовуємо закон дистрибутивності (6). Зрештою, отримуємо ДНФ. В кожній ЕК отриманої ДНФ наявна суперечність (тобто, пара однакових змінних із запереченням і без нього). ДНФ є логічною суперечністю. Тому, вихідна аналізована формула також є логічною суперечністю.

Застосування нормальних форм для встановлення відношень логічного слідування, рівносильності, сумісності між формулами логіки іисловлювань Застосування кнф

Очевидно, що метод зведення формул до КНФ можна застосувати для перевірки наявності/відсутності відношень логічного слідування, рівносильності, сумісності між формулами логіки висловлювань.

Перевіримо, чи наявне між формулами:

p  (q  r) і (~q & ~r)  ~p

відношення логічного слідування.

[p  (q  r)]  [(~q & ~r)  ~p]  ~[p  (q  r)]  [(~q & ~r)  ~p] 

 ~[~p  (q  r)]  [~(~q & ~r)  ~p]  (p & ~q & ~r)  (q  r  ~p) 

 (q  r  ~p  p) & (q  r  ~p  ~q) & (q  r  ~p  ~r).

Перший крок здійснюємо завдяки рівносильності (16). На другому – знову виконуємо цю ж процедуру. На третьому кроці двічі використовуємо закон де Моргана (13). На четвертому кроці застосовуємо закон дистрибутивності (7).

Вихідна аналізована формула виявилась логічним законом, про що свідчить її КНФ. Кожна ЕД отриманої КНФ є логічним законом, бо кожна ЕД містить деяку змінну із запереченням і без нього. Отже,

p  (q  r) ╞ (~q & ~r)  ~p.

Доведемо рівносильність:

р  q  ~q  ~p.

(p  q)  (~q  ~p)  (~p  q)  (q  ~p) 

 [(~p  q)  (q  ~p)] & [(q  ~p)  (~p  q)] 

 [~(~p  q)  q  ~p] & [~(q  ~p)  ~p  q] 

 [(p & ~q)  q  ~p] & [(~q & p)  ~p  q] 

 (p & ~q)  q  ~p  ~p  q  (p & ~q) 

 (~p  q  p) & (~p  q  ~q).

Перший крок – результат застосування рівносильності (16). Другий крок – рівносильності (17). На третьому кроці знову використовуємо рівносильність (16). Четвертий крок – двічі застосовуємо закон де Моргана (13). П'ятий крок - на підставі закону ідемпотентності (8) спрощуємо складну кон'юнктивну формулу. Шостий крок – трансформуємо диз’юнктивну формулу на підставі закону комутативності (3). Сьомий крок – застосовуємо закон дистрибутивності (7).

Вихідна аналізована формула є логічним законом, про що свідчить її КНФ. Отже, дійсно р  q  ~q  ~p.

За допомогою методу зведення до КНФ можна встановлювати наявність/відсутність відношення сумісності між будь-якими формулами ₁ і ₂. Для цього достатньо перевірити, чи буде ~(₁ & ₂) логічним законом. Якщо виявиться, що ~(₁ & ₂) (представлена у вигляді КНФ) є логічним законом, то ₁ і ₂ не будуть сумісними.

Чи будуть сумісними p  q і p & q?

~[(p  q) & (p & q)]  ~[(p  q) & p & q]  ~ (p  q)  ~p  ~q 

• (~p & ~q)  ~p  ~q  ~p  ~q.

Очевидно, що отримана КНФ (у вигляді окремої ЕД) не є логічним законом. Отже, p q і p & q будуть сумісними.

Зазначимо, що зведення формул до нормальних форм передбачає можливість застосування різних рівносильностей. Наприклад, останнє завдання можна було б вирішити ще й так:

~[(p  q) & (p & q)]  ~[(p  q) & p & q]  ~ (p & q)  ~p  ~q.

Другий крок перетворень – результат подвійного використання закону поглинання (10).