2.2.2. Поняття рівняння лінії на площині. Види рівнянь прямої на площині

Рівнянням лінії на площині називається рівняння із змінними та , якому задовольняють координати довільної точки цієї лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, що не належить лінії .

Найпростішою лінією на площині є пряма.

Види рівнянь прямоТ на площині

1. Загальним рівнянням прямої на площині називається рівняння 1-го степеня відносно та вигляду , де А, В, С - сталі коефіцієнти, причому А і В одночасно не дорів­нюють нулю.

Вектор - це вектор, перпендикулярний до прямої . Вектор, перпендикулярний до цієї прямої, назива­ється нормальним вектором прямої (вектором нормалі прямої).

Часткові випадки загального рівняння прямої

Значення коефіцієнти	Рівняння прямої	Зауваження
		Пряма проходить через початок ко­ординат
		Пряма паралельна осі
		Пряма паралельна осі
		Вісь
		Вісь

Приклад 2.3. ПІряма, паралельна осі , проходить через точку (-2; 3). Скласти рівняння цієї прямої.

Розв'язання

Оскільки пряма паралельна , то її рівняння: .

Ордината точки дорівнює 3, тому або - шукане рівняння.

Відповідь, .

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

де

де - кут нахилу прямої до додатного напряму осі ,

- відрізок, який відтинає пряма від осі .

Зауваження 1. Вертикальна пряма не мас кутового коефі­цієнта.

Зауваження 2. - рівняння прямої, що проходить через початок координат.

- рівняння прямої, паралельної осі ,

- рівняння прямої, паралельної осі

Приклад 2.4. Скласти рівняння прямої, яка проходить че­рез початок координат і утворює з додатнім напрямком осі кут 30°.

Розв'язання

Рівняння прямої, яка проходить через початок координат, має виг ляд: . Отже, - шукане рів­няння.

Відповідь.

3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки та має вигляд:

Приклад 2.5 Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Розв'язання

Використаємо рівняння .

Отже, - шукане рівняння.

Відповідь.

4. Рівняння прямої, що проходить через точку , перпендикулярно до заданого вектора

:

Приклад 2.6. Написати рівняння висоти трикутника, заданого точками .

Розв'язання

Пряма, що містить висоту , проходить через вершину і має нормальний вектор .

Рівняння висоти матиме вигляд:

, або .

Відповідь, .

5. Канонічне рівняння прямої (рівняння прямої, яка про­ходить через точку , паралельно до заданого вектора )

Будь-який ненульовий вектор, який паралельний до даної прямої, називається напрямним вектором цієї прямої.

6. Параметричне рівняння прямої:

7. Рівняння прямої у відрізках на осях координат:

де і - точки перетину прямої з осями координат.

2.2.3. Кут між прямими

а) Якщо прямі задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом і , то кут між ними знаходиться за формулою

б) Якщо прямі задані загальними рівняннями і , то кут між ними знаходиться як кут між векторами нормалей до прямих

:

в) Якщо прямі заіані канонічними рівняннями, то кут між ними знаходиться як кут між напрямними векторами прямих.

Приклад 2.7. Знайти кут між прямими та

.

Розв'язання

Оскільки прямі задані загальним рівнянням, то кут між ними знайдемо за формулою

Отже, кут між заданими прямими дорівнює 0, тобто пря­мі паралельні.

Відповідь. 0.

2.2.4. Умови паралельності та перпендикулярності

двох прамнх

Прямі паралельні, якщо паралельні їх напрямні вектори, або вектори нормалей до прямих.

Прямі перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх напря­мні вектори, або вектори нормалей до прямих.

Нехай та - напрямні вектори заданих прямих, - вектори нормалей до кожної з прямих.

Умови паралельності двох прямих

1. 

2. 

3. 

Умови перпендикулярності двох прямих

1. 

2. 

3. 

2.2.5. Відстань між двома точками.

Відстань від точки до прямої

Відстань між точками та визначається за формулою

Відстань від точки до прямої ви­значається за формулою

Приклад 2.8. Знайти відстань від точки до прямої .

Розв'язання

Використаємо формулу

Відповідь. 4.

2.2.6. Ділення відрізка у заданому відношенні.

Площа трикутника з відомими координатами вершин

Координати точки , що ділить відрізок у

відношенні , знаходяться за фор­мулами

Наслідок. Якщо точка є серединою відрізка, то ко­ординати точки знаходять так:

Приклад 2.9. Дано відрізок . Знайти координати точки М, яка ділить АВ у відношенні

Розв'язання

Отже,

Відповідь. .

Приклад 2.10. Написати рівняння медіани трикутника , заданого координатами своїх вершин .

Розв'язання

Знайдемо координати точки - середини сторони вс:

Рівняння прямої, що містить медіану , мас такий ви­гляд:

, або

Відповідь. .

Якщо точки - вершини , то його площа обчислюється за формулою

або