Вища математика. Конспект лекцій. І частина / Укл • Остафійчук М.М. - К.: НМЦ "Укоопосвіта", 2006. - 94 с.

Укладач Остафійчук М.М. - старший викладач Івано- Франківського фінансово-комерційного кооперативного колед­жу імені С. Граната

Рецензент Гой Т.П. - доцент кафедри математичного ана­лізу та прикладної математики Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, кандидат фізико-математичних наук

Редактор Миненко Ю.В.

Коректор Мартинчук Н.А.

Техредактор Шульженко В.І.

© НМЦ "Укоопосвіта", 2006

Зауваження і пропозиції щодо конспекту лекцій просимо надсилати до Навчально-методичного центру Укоопспілки "Укоопосвіта"

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу Навчально- методичного центру Укоопспічки "Укоопосвіта"заборонено

НМЦ Укоопспілки "Укоопосвіта", 2006

01001 М. Київ, Хрещатик, 7/11

­

Вступ

Навчальний посібник написано відповідно до навчальної програми з вищої математики, рекомендованої Міністерством освіти і науки України для вищих навчальних закладів І—II рів­нів акредитації. Виклад теоретичного матеріалу супроводжуєть­ся прикладами розв'язання як типових математичних задач, так і задач економічного змісту. Там, де це можливо, розкривається економічний зміст математичних понять, подаються простіші застосування вищої математики в економіці. Більшість матема­тичних методів оформлені у вигляді алгоритмів, що значно спрощує розв'язання задач і полегшує засвоєння курсу.

Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

1.1. Елементи теорії матриць та визначників

1.1.1. Поняття матриці. Види матриць

Прямокутна таблиця складена із довільного набору вели­чин називається прямокутною матрицею Величини, з яких складається матриця, називаються елементами матриці Суку­пність елементів, розміщених на горизонтальній (вертикальній) прямій складають рядок (стовпець) матриці.

Матриці позначаються великими латинськими літерами, а її елементи - малими латинськими з двома індексами, перший з яких вказує на номер рядка, а другий - на номер стовпця, на пе­ретині яких цей елемент знаходиться.

Символічний добуток числа рядків на число стовпців називають розміром матриці і позначають .

- матриця розміру

Скорочене позначення матриці: .

Види матриць

1. Квадратна матриця - це матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців. Кількість рядків ( стовпців ) квадрат­ної матриці називається її порядком.

Наприклад, - матриця 3-го порядку.

Елементи складають головну діагональ матри­ці , а елементи утворюють побічну діагональ матриці.

2. Нульова (нуль-матриця) - це матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

3. Діагональна - це квадратна матриця, всі елементи якої, крім діагональних, дорівнюють нулю.

Наприклад,

діагональна матриця 3-го порядку.

4. Одинична - це діагональна матриця, всі елементи го­ловної діагоналі якої дорівнюють одиниці (позначають Е).

- одинична матриця 3-го порядку.

5. Матриця-рядок (матриця-стовпець) - це матриця, яка складається з одного рядка (стовпця).

Наприклад, - матриця-рядок,

- матриця-стовпець.

6. Трикутна - це матриця, в якої елементи, розміщені під головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

7. Якщо у матриці А замінити стовпці так, щоб 1 -й рядок став першим стовпцем, 2-й рядок став другим стовпцем і т. д., то дістанемо матрицю, яка називається транспонованою відносно матриці (позначається ).

- матриця, транспонована відносно

Перехід від до називається операцією транспону­вання.

1.1.2. Дії над матрицями

1. Додавання та віднімання матриць. Сумою (різницею) двох матриць і однакових розмірів називається матриця такого самого розміру, кожний елемент якої с дорі­внює сумі (різниці) відповідних елементів матриць і , тобто

Приклад 1.1. Нехай

Знайти .

Розв'язання

2. Множення матриці на число. Добутком матриці

на число називається матриця , елементами якої є

добутки відповідних елементів даної матриці на число , тобто

Наприклад, якщо , то

3. Множення матриць. Добутком матриць і з розмірами відповідно і називається матриця

розміру , кожний елемент якої дорівнює сумі добутків

елементів і-то рядка матриці на відповідні елементи у'-го стов­пця матриці , тобто

.

Множити можна тільки узгоджені матриці, тобто ті, де число стовпців першої з матриць дорівнює числу рядків другої. Матриця-добуток при цьому матиме стільки рядків, скільки бу­ло у першій матриці, і стільки стовпців, скільки їх було у другій матриці.

Приклад 1.2. Нехай

Знайти .

Розв'язання