Фізичний зміст похідної

Якщо - залежність пройденого шляху від часу, то:

1. - швидкість прямолінійного руху;

2. - прискорення прямолінійного руху.

4.1.3. Похідні основних елементарних функцій

1) - стала	10)
2)	1 1)

3)	12)
4) 5)	13)
6) 7)	14)
8)	15)
9)	16)

4.1.4. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично

Нехай - стала і та - диференційовані функції. Тоді:

1. Похідна алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі похідних цих функцій:

2. Похідна добутку двох диференційованих функцій до­рівнює сумі добутків похідної першої функції на другу функцію і першої функції на похідну другої функції:

3. Сталий множник можна винести за знак похідної:

де - константа (число).

4. Похідна частки двох диференційованих функцій дорі­внює дробу, знаменником якого є квадрат знаменника цього дробу, а чисельником - різниця між добутком похідної чисель­ника на знаменник і добутком чисельника на похідну знаменни­ка:

5. Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції за проміжним аргументом на похідну проміж­ного аргументу за . Якщо , то

Приклад 4.1. Знайти похідну функції .

Розв'язання

Функція - складена: .

.

Відповідь. .

4.1.5. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично

Для знаходження похідної функції, заданої неявно рів­нянням , достатньо продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи як складену функцію від , а потім зі здобутого рівняння знайти похідну .

Приклад 4.2. Знайти похідну функції , задану неявно рі­внянням .

Розв'язання

Отже, .

Відповідь.

Функція може бути задана параметрично у вигляді

де - параметр.

Нехай функції і диференційовані в деякому околі точки і для всіх з цього околу. Тоді

Приклад 4.3. Знайти похідну функції, заданої параметрично:

Розв'язання

Використаємо формулу .

Відповідь.

4.1.6. Похідні вищих порядків

Похідною другого порядку функції в точці х нази­вається похідна від функції (похідна від похідної першого порядку цієї функції), тобто

Позначення похідної другого порядку ;

Приклад 4.4. Знайти похідну другого порядку функції .

Розв'язання

.

Відповідь. .

Похідною -го порядку функцій називається по­хідна функції (похідна від похідної -го порядку), тобто

Позначення похідної п-го порядку:

Приклад 4.5. Знайти похідну 3-го порядку функції .

Розв'язання

Відповідь. 0.

4.2. Диференціал функції однієї змінної

4.2.1. Означення диференціала функції, його геометричний зміст

Нехай функція диферениійовна на відрізку . За означенням похідної функції в точці :

Оскільки . , де - нескінченно мала величина.

Маємо:

Величину (при ) називають диференціалом функції і позначають або dy.

Диференціалом функції в точці називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу: або

Диференціал функції , що відповідає значенню і , є приростом ординати дотичної до графіка функції в точці дг.