Властивості дій над матрицями

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Деякі специфічні властивості операції множення матриць

1. Якщо добуток існує, то добуток може не існува­ти.

2. Переставна властивість справджується не завжди. Як­що , то матриці називають переставними (комутатив­ними).

3. З рівності не випливає, що або .

1.1.3. Визначники другого та третього порядків

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповід­ність певне число, яке називається визначником (детермінан­том) матриці. Визначник матриці позначається , . Ви­значники позначають також літерою грецького алфавіту .

- визначник квадратної матриці -го порядку.

Визначником другого порядку називається число, яке ви­значається рівністю

де - деякі числа (вирази), які називаються елементами визначника.

Іншими словами, визначник другого порядку дорівнює рі­зниці добутків елементів головної та побічної діагоналей.

Приклад 1.3. Обчислити визначник

Розв'язання

.

Визначником третього порядку називається число, що визначається рівністю

Правило обчислення визначників третього порядку нази­вається правилом трикутників або правилом Саррюса.

Приклад 1.4.

1.1.4. Основні властивості визначників

1. Визначник не зміниться, якщо рядки поміняти на від-повідні стовпці, а стовпці - на рядки

2. При перестановці двох рядків (або стовпців) абсолютна величина визначника не зміниться, а знак зміниться на протиле­жний.

, то

3. Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) дорі­внюють нулю, то визначник також дорівнює нулю.

4. Визначник з двома однаковими рядками (або стовпцями) дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) ма­ють спільний множник, то його можна винести за знак визнач­ника.

6. Визначник, у якого всі елементи одного рядка (або стов­пця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або сто­впця), дорівнює нулю:

7. Якщо всі елементи деякого рядка (або стовпця) визнач­ника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементи згаданого рядка (стовпця) замінені відповідними доданками.

8. Визначник не зміниться, якщо до всіх елементів довіль­ного рядка(або стовпця) додати елементи іншого рядка (або сто­впця), помножені на довільний множник, відмінний від нуля

1.1.5. Визначники -го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення

Визначник п-го порядку має вигляд

Мінором , елемента визначника -го порядку нази­вається визначник ( -1)-го порядку, утворений з попереднього викреслюванням -го рядка і -го стовпця.

Приклад 1.5. Знайти мінор елемента визначника

Розв'язання

Алгебраїчним доповненням елемента визначника -го порядку називається мінор цього елемента, взятий із знаком "+", якщо ( ) - число парне й із знаком "-", якщо ( ) - число непарне, тобто

Приклад 1.6. Знайти алгебраїчні доповнення елементів визначника

Розв'язання

Теорема Лапласа (розкладання визначника за елемента­ми рядка чи стовпця). Визначник -го порядку дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка чи стовпця на їх відповідні ал­гебраїчні доповнення.

Приклад 1.7. Обчислити визначник

Розв'язання

Виберемо другий рядок, оскільки два його елементи до­рівнюють нулю.

Зауваження. Визначник трикутного вигляду дорівнює

добутку елементів головної діагоналі.