1.1.6. Обернена матриця

Матриця називається оберненою до матриці , якщо виконуються рівності: .

Якщо визначник матриці не дорівнює нулю, то така ма­триця називається неособливою (невиродженою).

Теорема. Для того, щоб матриця мала обернену необхід­но і досить, щоб вона була невиродженою.

Алгоритм знаходження оберненої матриці

для заданої квадратної матриці

1. Знайти визначник матриці .

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці .

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці .

4. Транспонувати матрицю з алгебраїчних доповнень. Ця матриця називається приєднаною (або союзною) і позначається .

5. Помножити приєднану матрицю на число .

Отже, - матриця, обернена до матриці .

Приклад 1.8. Знайти матрицю, обернену до матриці

Розв'язання

1. Знаходимо визначник матриці

Оскільки , то обернена матриця існує

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення:

3. Так

4. Транспортуємо матрицю і знаходимо

5. Отже, обернена матриця

Приклад 1.9. Знайти матрицю, обернену до матриці

Розв'язання

1. Обчислимо визначник матриці: .

Оскільки , то матриця вироджена, тобто оберне­ної для неї не існує.

1.1.7. Ранг матриці

Розглянемо прямокутну матрицю розміру :

Рангом матриці називається найвищий порядок мінора, що не дорівнює нулю.

Ціле число є рангом матриці , якщо серед її мінорів -го порядку є принаймні один, відмінний від нуля, а всі мі- нори, порядок яких більший, ніж дорівнюють нулю.

Властивості рангу матриці

1. Ранг матриці порядку не перевищує меншого з чисел і , тобто .

2. тоді і тільки тоді, коли - нульова матриця.

3. Ранг квадратної матриці -го порядку дорівнює то­ді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю.

Методи обчислення рангу матриці

1. Метод окантування (за означенням).

2. Метод, який полягає в застосуванні елементарних пе­ретворень матриці, до яких належать:

а) вилучення нульового рядка (стовпця);

б) множення всіх елементів деякого рядка (стовпця) мат­риці на число, відмінне від нуля;

в) зміна порядку рядків (стовпців);

г) додавання до кожного елемента деякого рядка (стовп­ця);

ґ) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помно­жених на будь-яке число;

д) транспонування матриці.

З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звести до трикутного вигляду.

Ранг матриці трикутного вигляду дорівнює кількості діагональних елементів, які не дорівнюють нулю.

Алгоритм знаходження рангу матриці

1. Зробити так, щоб коефіцієнт . Для цього можна поміняти рядки місцями.

2. В першому стовпці під коефіцієнтом зробити всі нулі. Для цього помножити перший рядок послідовно на і додати відповідно до другого, третього, ..., -го рядків.

3. Якщо в результаті перетворень отримали рядок чи стовпець, що містить усі нулі, то його вилучити.

4. Аналогічно зробити так, щоб коефіцієнт , а під ним були нулі.

5. Описані дії повторити для всіх діагональних елементів (з однаковими індексами), доки матриця не буде зведена до три­кутного вигляду.

6. Знайти ранг матриці (кількість діагональних елемен­тів, які не дорівнюють нулю).

Приклад 1.10. Обчислити ранг матриці

Розв'язання

1. Поміняємо перший і другий рядок місцями для того, щоб елемент

2. Щоб отримати в першому стовпці всі решта нулі, пер­ший рядок домножимо на (-1) і додамо до третього рядка; пер­ший рядок домножимо на (-2) і додамо до четвертого рядка;

3. Елемент . Щоб отримати нулі, другий рядок до­дамо до третього рядка; другий рядок домножимо на 3 і додамо до четвертого рядка;

4. Вилучимо нульові рядки.

. Ранг матриці

Відповідь,

1.2. Загальна теорія систем лінійних

алгебраїчних рівнянь

1.2.1. Основні поняття та означення.

Теореми Кронекера-Капеллі

Лінійним рівнянням з невідомими називається рівнян­ня вигляду

,

де - деякі дійсні числа, - невідомі.

Система лінійних рівнянь з невідомими має такий ви­гляд:

де - коефіцієнти при невідомих;

- невідомі; - вільні члени.

Визначником системи називається визначник матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих:

Розв'язком системи називається сукупність значень не­відомих, які перетворюють кожне з рівнянь системи у рівність.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, і несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, і невизначеною, якщо має більше ніж один розв'язок.

Якщо всі вільні члени системи дорівнюють нулю, то сис­тема називається однорідною, в іншому випадку - неоднорід­ною.

Основною матрицею системи називають матрицю, складену з коефіцієнтів при невідомих:

Розширеною матрицею системи називають матрицю, яка складена з коефіцієнтів при невідомих та стовпця вільних членів.

- розширена матриця системи.

Теорема 1 (Кронекера-Капеллі). Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і досить, щоб ранги її основної та розширеної матриці були рівні.

Теорема 2 (критерій визначеності). Якщо система лі­нійних рівнянь з невідомими сумісна і ранг її основної матриці дорівнює , то

при система визначена;

при - невизначена.