1.2.6.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)

Мета балансового аналізу - дати відповідь на питання, яким повинен бути обсяг виробництва кожної з багатогалузе­вого господарства, щоб задовольнити всі потреби в продукції даної галузі. При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, виробником деякої продукції, а з іншого - споживачем продук­ції (і своєї, і виробленої іншими галузями).

Нехай маємо галузей виробництва. Розглянемо еконо­мічну систему, що її утворюють взаємозв'язані галузі виробниц­тва за певний період часу.

Позначимо через - загальну вартість продукції, вироб­леної в -й галузі ;

- вартість кінцевого продукту -ої галузі для невироб­ничих потреб ;

- вартість продукції -ої галузі, що споживається в -й галузі

Тоді - балансове рівняння

Якщо — вартість продукції -ої галузі, що споживається на виробництво одиниці продукції -ої галузі, то

- коефіцієнти прямих витрат .

Враховуючи, що балансове рівняння набере ви­гляду:

Позначимо

де - вектор валового випуску (вектор-план);

- вектор кінцевого продукту невиробничого спожи­вання;

- матриця прямих витрат. Тоді балансове рівняння можна записати у вигляді або .

Таким чином, основною задачею міжгалузевого балансу є відшукання такого вектора валового випуску , який при відо­мій матриці прямих витрат, забезпечує заданий вектор кінцевого продукту .

Якщо , то - розв'язок балансового рівняння. Матриця називається матрицею повних витрат

У відповідності з економічним змістом задачі повинні бути невід'ємними при невід'ємних значеннях і . Щоб розв'язок балансового рівняння був не­від'ємним, потрібно, щоб модель Леонтьева була продуктивною. При цьому матрицю називають продуктивною.

Матриця продуктивна, якщо максимум сум елементів кожного з її стовпців не перевищує 1 і хоча б для одного стовп­ця сума елементів була б менша 1:

та існує номер такий, що .

Приклад 1.18. У таблиці наведені дані про виконання ба­лансу за звітний період в умовних грошових одиницях. Обчис­лити необхідний обсяг валового випуску в кожній галузі, якщо кінцеве споживання енергетичної галузі збільшиться вдвічі, а машинобудування - залишиться на попередньому рівні.

Галузь				Споживання				Кінцевий продукт		Валовий продукт
				Е		М
Виробництво		Е		7		21		72		100
		М		12		15		73		100

Розв'язання

Знаходимо коефіцієнти прямих витрат за формулою

Матриця прямих витрат

Усі елементи матриці невід'ємні і вона задовольняє критерію продуктивності:

Знайдемо матрицю повних витрат

, матриця має обернену.

Розв'язок рівняння знаходимо за формулою

Отже, валовий випуск в енергетичній галузі треба збіль­шити до 179,97, а в машинобудуванні - до 111,29 умовних гро­шових одиниць.