4.3.8. Загальна схема дослідження функції

Перший етап (використання властивостей заданої функції)

1. Облас.ь визначен­ня функції
2. Парність, непар- ність і періодич­ність	- парна, якщо - симетрична відносно початку координат; - непарна, якщо - симетрична відносно початку координат; - періодична, якщо
3. Точки перетину графіка з осями ко­ординат	з віссю : з рівняння знахо­дять , з віссю , знаходять значення
4. Точки розриву. Асимптоти графіка функції	Вертикальні асимптоти - у точках не­скінченного розриву 2-го роду функції . Похилі асимптоти: , де

Другий етап (використання похідної першого порядку)

5. Знайти похідну та критичні точки фу­нкції	або не існує
6. Проміжки зрос­тання, спадання	- зростає, - спадає
7. Точки екстрему­му функції	Якщо змінює знак при переході че­рез з на то . якщо з на то

Третій етап (використання похідної другого порядку)

8. Знайти другу по­хідну та критичні точки другого роду	або не існує
9. Проміжки опук­лості, угнутості	- функція угнута. - опукла
10. Точки перетну і значення функції в цих точках	якіцо змінює знак при переході через , то - точка перегину

Приклад 4.12. Дослідити функцію та побу­дувати її графік.

Розв'язання

1. Область визначення

2.

Функція ні парна, ні непарна. Неперіодична.

3. Перетин з ;

з або .

4. Проміжки зростання, спадання та точки екстремуму:

- критичні точки

5.

Функція зростає при , спадає при .

6. Асимптоти: ,

Отже, - вертикальна асимптота.

Знайдемо похилу асимптоту :

Маємо, - похила асимптота.

7. Проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції:

Оскільки , то знак другої похідної може змі­нюватися лише в точці

Функція опукла при , угнута при .

Точок перегину немає.

	-6	-2
	-33	7

4.4. Економічні приклади та задачі

4.4.1. Застосування похідної до задач економіки

Приклад 4.13. Залежність фінансових зборів від обсягу продукції виражається формулою . При яких значеннях обсягу фінансові збори почнуть зростати?

Розв'язання

Фінансові збори зростають, якщо .

Отже, коли обсяг продукції перевищує 100 грн, фінансові збори зростають.

Відповідь. При .

Темп зростання функції

Якщо - задана функція, то швидкість її зміни визначається похідною .

Темпом зростання функції (відносною швидкістю) називається відношення

Наприклад, якщо , то темп зростання функції становить .

Приклад 4.14. Обсяг виготовленої продукції за день опи- сується рівнянням . Обчислити продуктивність праці та швидкість її зміни через 3 години після початку роботи.

Розв'язання

Продуктивність праці:

Швидкість зміни продуктивності

Якщо , то

Відповідь. , .

Якщо функцією задаються витрати виробництва однорідної продукції обсягу , то похідна дає граничні ви­трати виробництва продукції цього обсягу.

Приклад 4.15. Витрати виробництва залежно від обсягу продукції задаються формулою . Знайти граничні витрати, якщо обсяг складає 6 одиниць.

Розв'язання

Граничні витрати визначаються похідною від витрат ви робництва

Отже, при обсязі шести одиниць продукції втрати для виготовлення наступної сьомої одиниці складають 89,7.

Відповідь. 89,7.