Необхідна умова існування точки перегину

У точках перегину функції її друга похідна дорівнює нулю або не існує.

Достатня умова існування точки перегину

Якщо функція мас першу і другу похідну на інтерваїлі і її друга похідна змінює знак при переході через точку , то точка є точкою перегину функції .

у точці змінює знак - точка перегину функції/

Алгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину

1. Знайти область визначення і інтервали, на яких функ­ція неперервна.

2. Знайти другу похідну .

3. Знайти внутрішні точки області визначення, в яких або не існує.

4. Позначити одержані точки на області визначення, знайти знак другої похідної функції на кожному інтервалі, на які розвивається область визначення.

5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали опуклості, угнутості і точки перегину).

Приклад 4.10. Знайти проміжки опуклості, угнутості та ТОЧКИ перегину функції .

Розв'язання

Функція неперервна в кожній точці своєї області визна­чення.

1. 

2. 

3. 

4. Графік функції опуклий при ; угнутий при

5. Точки перегину: х =-і і х = 3.

4.3.6. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

Якщо функція неперервна на відрізку і мас на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в кри­тичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрі­зка.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого зна­чень функції; неперервної на відрику

1. Знайти похідну

2. Знайти критичні точки: а) , б) не іс­нує.

3. Вибрати критичні точки, які належать цьому відрізку.

4. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка.

5. Вибрати з них найменше і найбільше.

Приклад 4.10. Знайти найбільше та найменше значення функції при .

Розв'язання

,

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Відповідь,

4.3.7. Асимптоти до кривої графіка функції

Асимптотою кривої називають пряму (або криву) лінію, до якої необмежено наближається графік функції, але не пере­тинає її. Асимптоти бувають горизонтальні, вертикальні і похи­лі.

1. Вертикальні асимптоти. Якщо функція має в точці розрив другого роду й існує хоча б одна із нескінчен­них односторонніх границь функції в точці , то пряму називають вертикальною асимптотою кривої .

2. Похилі асимптоти. Нехай функція визначе­на в інтервалі або в інтервалі .

Пряму називатимемо похилою асимптотою кри­вої , якщо виконується умова: .

Теорема. Крива тоді і тільки тоді мас асимп­тоту , коли існують скінченні границі

3. Горизонтальні асимптоти. Якщо в похилій асимп­тоті функції маємо , то таку похилу асимпто­ту називають горизонтальною асимптотою функції: .

Для того, щоб пряма була горизонтальною асимп­тотою функції , необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя

Приклад 4.11. Знайти асимптоти функції .

Розв'язання

1. Знайдемо одну із односторонніх границь функції в точці :

- точка розриву другого роду заданої функцій

Отже, - вертикальна асимптота.

2. Знайдемо похилу асимптоту , використавши формули

Оскільки , то - горизонтальна асимптота.