2.3.7. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

Нехай площина задається рівнянням , а

пряма - . Тоді - вектор нормалі площини, а - напрямний вектор прямої.

1) Кут між прямою і площиною визначається за фор­мулою

2) Умова паралельності площини і прямої ( ):

3) Умова перпендикулярності пря.чої і площини ( ):

Приклад 2.13. Знайти рівняння прямої , яка проходить через точку , перпендикулярно до площини

Розв'язання

Оскільки пряма перпендикулярна до площини, то за

напрямний вектор цієї прямої можна взяти нормальний вектор

площини: .

Тепер одержуємо рівняння прямої : .

Відповідь,

2.4. Криві лінії другого порядку на площині

Загальне рівняння ліній другого порядку має такий вигляд:

де хоча б один з коефіцієнтів .

Розглянемо деякі лінії другого порядку.

2.4.1. Коло та його рівняння

Колом називається множина гонок площини, рівновіддалених від фіксованої точки центра кола.

Рівняння кола в загальному вигляді:

де й- постійні коефіцієнти.

Канонічне рівняння кола:

де - радіус кола;

- координати центра.

Зауваження. Якщо центр кола розміщений у початку ко­ординат, то рівняння кола має вигляд:

Приклад 2.14. Скласти рівняння кола з центром у точці (5; -7), що проходить через точку (2; -3).

Розв'язання

Знайдемо радіус кола як відстань між двома точками:

Отже, - шукане рівняння кола.

Відповідь, .

2.4.2. Еліпс та його рівняння

Еліпсом називається множина гонок площини, для кож­ної з яких сума відстаней до двох даних точок тієї площини (фо­кусів) є величина стала (дорівнює 2а) і більша за відстань між цими точками (2с).

Канонічне рівняння еліпса:

де параметри і дорівнюють півосям еліпса, що роз­ташовані на осях координат та відповідно.

• - фокальні радіус-вектори (відстань від точки еліпса до його фокусів):

• - лівий та правий фокуси еліпса;

, де

Зауваження. Якщо , то фокуси розташовані на осі .

• - вершини еліпса.

• - ексцентриситет (характеризує міру стиснення еліпса).

• - рівняння директрис.

• - осі еліпса.

Приклад 2.15 Скласти канонічне рівняння еліпса, який про­ходить через точку , якіцо фокальна відстань дорівнює 6.

Розв'язання

. Точка належить еліпсу, тому

Отже, - шукане рівняння.

Відповідь,

2.43. Гіпербола та її рівняння

Гіперболою називають множину точок площини, для ко­жної з яких абсолютна величина різниці віддалей до двох точок тієї ж площини (фокусів) є величина стала ( дорівнює 2а) і мен­ша за відстань між цими точками (2с)

Канонічне рівняння гіперболи:

• - лівий та правий фокуси гіперболи,

• -дійсні вершини гіперболи,

• -уявні вершини гіперболи,

• - дійсна вісь гіперболи,

• - уявна вісь гіперболи.

• - фокальні радіуси,

• - ексцентриситет.

• - асимптоти гіперболи.

Для побудови асимптот будують осьовий прямокутник гіперболи зі сторонами . Діагоналі цього прямок\тника є асимптотами.

Зауваження: - рівняння гіперболи, дійсною віссю якої є відрізок осі довжиною .