- •01001 М. Київ, Хрещатик, 7/11
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Елементи теорії матриць та визначників
- •1.1.1. Поняття матриці. Види матриць
- •Види матриць
- •1.1.2. Дії над матрицями
- •Властивості дій над матрицями
- •1.1.3. Визначники другого та третього порядків
- •1.1.4. Основні властивості визначників
- •1.1.5. Визначники -го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення
- •1.1.6. Обернена матриця
- •Алгоритм знаходження оберненої матриці
- •1.1.7. Ранг матриці
- •Властивості рангу матриці
- •Методи обчислення рангу матриці
- •Алгоритм знаходження рангу матриці
- •1.2.2. Метод Крамера розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.3. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.4. Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь
- •Алгоритм методу Гаусса
- •1.2.6.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)
- •Розділ 2. Аналітична геометрія. Векторна алгебра
- •2.1. Векторна алгебра
- •2.1.1. Векторні та скалярні величини. -вимірний вектор. Векторний простір
- •2.1.2. Різновиди векторів
- •2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі
- •Властивості скалярного добутку векторів:
- •2.1.4. Координати вектора. Довжина вектора. Кут між векторами
- •2.1.5. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розкладання вектора за базисом
- •Алгоритм розкладу вектора за базисом
- •2.2. Лінії на площині
- •2.2.1. Прямокутна декартова система координат на площині та у просторі
- •2.2.2. Поняття рівняння лінії на площині. Види рівнянь прямої на площині
- •Види рівнянь прямоТ на площині
- •2.2.3. Кут між прямими
- •2.3. Лінії в просторі
- •23.1. Рівняння поверхні в просторі. Рівняння сфери
- •2.3.2. Види рівнянь площини
- •1. Загальне рівняння площини:
- •2.3.3. Відстань між двома точками в просторі. Відстань від точки до площини
- •23.4. Взаємне розміщений двох площин
- •2.3.5. Види рівнянь прямої у просторі
- •23.6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.3.7. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі
- •2.4. Криві лінії другого порядку на площині
- •2.4.1. Коло та його рівняння
- •2.4.2. Еліпс та його рівняння
- •2.43. Гіпербола та її рівняння
- •2.4.4. Парабола та и рівнинна
- •3.1.2. Деякі елементарні функції та їх графіки. Способи задания функцій
- •3.1.3. Основні властивості функцій
- •3.1.4. Застосування функцій в економіці
- •3.23. Теореми иро границі
- •3.2.4. Приклади обчислення границь послідовностей
- •3.2.5. Поняття границі функції. Односторонні границі
- •3.2.6. Основні теореми про іраниці. Чудові границі
- •3.2.7. Прийоми обчислення границь функції
- •3.2.8. Неперервність функції. Основні поняття
- •3.2.9. Властивості неперервних функцій
- •3.2.10. Розриви функції та їх класифікація
- •3.2.11. Методика дослідження функції на неперервність
- •Розділ 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної 4.1. Похідна функції
- •4.1.1. Поняття похідпої
- •4.1.2. Геометричішй та механічний зміст похідної
- •Фізичний зміст похідної
- •4.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •4.1.4. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично
- •4.1.5. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично
- •4.1.6. Похідні вищих порядків
- •4.2. Диференціал функції однієї змінної
- •4.2.1. Означення диференціала функції, його геометричний зміст
- •422. Диференціали вищих порядків
- •4.3.3. Зростання та спадання функції, достатня умова
- •4.3.4. Екстремуми функцій, необхідна та достатня умови
- •Необхідна умова екстремуму
- •43.5. Опуклість, угнутість кривих та точки перетну функції
- •Необхідна умова існування точки перегину
- •Алгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину
- •4.3.6. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку
- •Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції; неперервної на відрику
- •4.3.7. Асимптоти до кривої графіка функції
- •4.3.8. Загальна схема дослідження функції
- •4.4. Економічні приклади та задачі
- •4.4.1. Застосування похідної до задач економіки
- •Темп зростання функції
- •4.4.2. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •4.4.3. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор
- •Література
Розділ 2. Аналітична геометрія. Векторна алгебра
Аналітична геометрія - це розділ математики, в якому властивості геометричних об'єктів (точок, ліній, фігур тощо) вивчаються з використанням алгебраїчних методів.
Основоположником аналітичної геометрії вважають французького математика та філософа Р. Декарта (1596 - 1650 рр.), який розробив метод координат, що є основним апаратом аналітичної геометрії.
В аналітичній геометрії розв'язують такі дві задачі:
дано лінію як множину точок, потрібно скласти її рівняння.
дано рівняння лінії і потрібно побудувати лінію, що описується цим рівнянням.
2.1. Векторна алгебра
2.1.1. Векторні та скалярні величини. -вимірний вектор. Векторний простір
Скалярними величинами називаються величини, які характеризуються лише числовим значенням (довжина, площа, температура).
Векторними величинами називаються величини, які визначаються не тільки числовим значенням, а й напрямком (швидкість, сила, прискорення).
Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого зазначено, яка з його точок є першою (початок вектора), а яка - другою (кінець вектора).
— кінець вектора.
Довжиною (модулем) вектора (позначається ) називають довжину відрізка, що зображує вектор.
-вимірним вектором називають упорядковану сукупність п дійсних чисел, яка записується у вигляді .
Числа називають координатами (компонентами) вектора . Число називають розмірністю вектора .
Поняття -вимірного вектора широко використовується в економічних задачах. Наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати вектором , а відповідні ціни одиниці товару - вектором .
Множина всіх -вимірних векторів називається -вимірним простором і позначається .
Векторні простори можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.
2.1.2. Різновиди векторів
Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати, тобто
, якщо
Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо всі його координати дорівнюють нулю: . Вектор називається протилежним вектору . Два ненульові вектори і називаються колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:
Вектор називається одиничним (нормованим), якщо його довжина дорівнює одиниці.
Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються координатними векторами (ортами):
Два вектори називаються перпендикулярними (взаємно ортогональними), якщо сума добутків відповідних координат векторів (скалярний добуток векторів) дорівнює нулю.
2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі
1. Сумою -вимірних векторів і називають -вимірний вектор ,координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів- додатків, тобто
Наприклад, якщо , то .
2. Добутком числа (скаляра) на -вимірний вектор називається -вимірний вектор , координати якого дорівнюють добутку числа на відповідні координати вектора ,тобто
Наприклад,
якщо , то .
Властивості додавання векторів та множення числа на вектор ( - деякі числа):
Для довільного вектора існує протилежний вектор такий, що .
3. Різницею векторів і називають вектор , який позначатимемо .
4. Скалярним добутком двох -вимірних векторів і називають число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів, тобто
Наприклад,
якщо , то
Скалярний добуток має простий економічний зміст. Якщо -вектор об'ємів різних товарів, а - вектор їх цін, то скалярний добуток виражає загальну вартість усіх цих товарів.