Лекция №12.

Тема: ПРЕДИКАТЫ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ КВАНТОРАМИ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение смысла кванторов

2. Основные свойства кванторов в виде эквивалентности

3. Основные свойства кванторов в виде импликации

Краткое содержание лекционного материала

Кванторы вида x и x называются также неограниченными. Эти, неограниченные, кванторы рассматриваются в основном в математической логике. Далее мы неограниченные кванторы называем просто кванторами.

Выясним смысл кванторов. Для простоты рассмотрим навешивание кванторов x и x к предикату P(x) с одной свободной переменной (в общем случае остальные свободные переменные принимают фиксированные значения). Предложения xP(x) (подтверждение P(x) переменной x) и xP(x) (обобщение P(x) переменной x) являются высказываниями, истинностные значения которых определяются по следующим правилам (D – множество допустимых значений переменной x):

Если множество Da₁,…,a_k конечно, то подтверждение равносильно дизъюнкции, а обобщение – конъюнкции: xP(x)P(a₁)…P(a_k) и xP(x)P(a₁)…P(a_k).

Если P(x) не содержит y, то xP(x)yP(y) и xP(x)yP(y).

Если переменные x и y – различные, то yP(x)yP(x)P(x).

Основные свойства кванторов представляют собой либо равносильности, либо необратимые импликации. Эти свойства можно "доказывать", используя определения операций , ,  и операций навешивания кванторов, и опираясь на здравый смысл.

Свойства кванторов – равносильности.

(1) x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x).

Действительно, x(P(x)Q(x))И (подтверждение)

P(a)Q(a))И для некоторого aD (дизъюнкция)

P(a)И или Q(a))И для некоторого aD (подтверждение)

xP(x)И или xQ(x)И (дизъюнкция)

xP(x)xQ(x)И.

(2) x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x).

(3) xyP(x,y)yxP(x,y);

Действительно, xyP(x,y)И (подтверждение)

yP(a,y)И для некоторого aD (подтверждение)

P(a,b)И для некоторых a,bD (подтверждение)

xP(x,b)И для некоторого bD (подтверждение)

yxP(x,y)И.

(4) xyP(x,y)yxP(x,y).

(5) xP(x)xP(x).

Действительно, xP(x)И (отрицание)

xP(x)Л (подтверждение)

P(a)Л для всех aD (отрицание)

P(a)И для всех aD (обобщение)

xP(x)И.

(6) xP(x)xP(x).

Свойства кванторов – истинные импликации (или следствия).

(7) P(a)xP(x) и xP(x)P(a), где aD.

(8) x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x).

Действительно, x(P(x)Q(x))И (подтверждение)

P(a)Q(a)И для некоторого aD (конъюнкция)

P(a)И и Q(a))И для некоторого aD (подтверждение)

xP(x)И и xQ(x)И (конъюнкция)

xP(x)xQ(x)И.

(9) xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)).

Действительно, xP(x)xQ(x)И (дизъюнкция)

xP(x)И или xQ(x)И (обобщение)

P(a)И для всех aD или Q(a)И для всех aD (дизъюнкция)

P(a)Q(a)И для всех aD (обобщение)

x(P(x)Q(x))И.

(10) xyP(x,y)yxP(x,y).

Действительно, xyP(x,y)И (подтверждение)

yP(a,y)И для некоторого aD (обобщение)

P(a,b)И для некоторого aD и для всех bD (подтверждение)

xP(x,b)И для всех bD (обобщение)

yxP(x,y)И.

Обратные импликации, вообще говоря, не являются истинными.

В качестве интерпретации возьмем множество всех натуральных чисел с обычными операциями и отношениями над числами.

(7) Неверно, что xP(x)P(a) и P(a)xP(x), где aD.

Пусть P(x) есть x5, a равно 4. Тогда x(x5)45Л.

Пусть P(x) есть x5, a равно 4. Тогда 45x(x5)Л.

(8) Неверно, что xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)).

Пусть P(x) есть x5 и Q(x) есть x4. Тогда

x(x5)x(x4)x(x5x4)Л.

(9) Неверно, что x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x).

Пусть P(x) есть x5 и Q(x) есть x4. Тогда

x(x5x4)x(x5)x(x4)Л.

(10) Неверно, что yxP(x,y)xyP(x,y).

Пусть P(x,y) есть xy. Тогда yx(xy)xy(xy)Л.