Лекция № 2.

Тема: ПРОПОЗИЦИНАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Алфавит пропозициональной логики

2. Формулы логики высказываний (пропозициональные формулы)

3. Тавтологии. Противоречия

4. Логические следствия

Краткое содержание лекционного материала

Напомним, что алфавит – это конечное непустое множество символов.

Слово (или строка) в алфавите U – это конечная последовательность символов из U.

Пропозициональные переменные p, q, r, p₁, p₂, …– это переменные, значениями которых являются высказывания.

Рассмотрим слова в алфавите, состоящем из пропозициональных символов, логических связок , , , ,  и скобок. Среди них выделим пропозициональные формулы, для краткости называемые формулами:

1) каждая пропозициональная переменная является формулой;

2) если слово A – формула, то слово A тоже формула;

3) если слова A и B – формулы, то слова (AB), (AB), (AB) и (AB) тоже формулы;

4) только те слова являются формулами, которые получены строго по правилам пунктов 1) – 3).

В построенных формулах внешние скобки опускаются.

Предположим, что в состав формулы A входят пропозициональные переменные p₁,…,p_n. Формула A называется тавтологией (противоречием), если при любых истинностных значениях переменных p₁,…,p_n формула A всегда принимает истинностное значение 1 (соответственно, 0).

Если формула A принимает истинностное значение 1 (0), мы говорим, что формула A истинна (ложна) и пишем A1 (A0).

Предположим, что в состав формул A₁,…,A_m,B входят пропозициональные переменные p₁,…,p_n. Говорят, что формула B логически следует из формул A₁,…,A_m (или B – логическое следствие A₁,…,A_m), если при любых истинностных значениях переменных p₁,…,p_n как только формулы A₁,…,A_m становятся истинными, так и формула B становится истинной, или, что равносильно, формула A₁(A₂…(A_mB)…) является тавтологией.

В частности, B логически следует из A (из A₁ и A₂), если формула AB (соответственно, A₁(A₂B)) является тавтологией.

Логическое следствие – это отношения между высказываниями. Знаки  (и ему подобные знаки , ) на практике применяются и для обозначения операций над высказываниями (импликация AB), и для отношений между высказываниями (логическое следствие), и для краткой записи в доказательствах последовательного выполнения отношений логического следствия.

Логические следствия применяются при доказательстве теорем.

Примеры различных логических следствий, используемых при доказательстве методом от противного:

1) из AB и AB следует A;

2) из AA следует A;

3) из A(BB) следует A;

4) из A0 следует A.

Следующее логическое следствие называется правилом силлогизма:

5) из AB и BC следует AC.

Правило отделения или modus ponens:

6) из A и AB следует B.

Лекция № 3.

Тема: АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Отношение равносильности формул

2. Законы алгебры высказываний

3. Дизъюнкции и конъюнкции n высказываний

Краткое содержание лекционного материала

Предположим, что в состав формул A и B входят пропозициональные переменные p₁,…,p_n. Формулы A и B называются равносильными (AB), если при любых истинностных значениях переменных p₁,…,p_n формулы A и B принимают одно и тоже истинностное значение. Легко увидеть, что AB тогда и только тогда, когда формула AB является тавтологией.

Отношение равносильности обладает такими же свойствами, как и отношение равенства чисел или равенства множеств: рефлексивно (AA), симметрично (из AB следует BA), транзитивно (из AB и BA следует AC). Имеет место правило подстановки для логических операций: например, из AC и BD следует ABCD.

Равносильность формул – это отношение между формулами. Знаки  (и ему подобные знаки , , ) на практике применяются и для обозначения операций над высказываниями (эквивалентность AB), и для отношений между высказываниями (равносильность AB), и для краткой записи последовательного выполнения отношения равносильности (в доказательствах или в решениях задач, например, при решении уравнений и систем уравнений).

Законы алгебры высказываний (или логические законы, или булевы законы) для логических связок , ,  и с константами 0 и 1 напоминают законы арифметики для действий  (нахождения противоположного числа), ,  и констант (чисел) 0, 1. (Когда-то дизъюнкция и конъюнкция назывались логическим сложением и логическим).

Следующие булевы законы аналогичны арифметическим законам:

PQQP, PQQP (законы коммутативности);

(PQ)RQ(PR), (PQ)RQ(PR) (законы ассоциативности);

P(QR)(PQ)(PR) (закон дистрибутивности  относительно );

PP (закон двойного отрицания);

P0P; P1P; P00 (свойства констант 0 и 1).

А следующие булевы законы не аналогичны арифметическим законам:

PPP, PPP (законы идемпотентности);

P(QR)(PQ)(PR) (закон дистрибутивности  относительно )

(PQ)QQ, (PQ)QQ (законы поглощения);

(PQ)PQ, (PQ)PQ (законы де Моргана);

PP1 (законы исключенного третьего);

PP0 (закон о противоречии); P11.

Используя логические законы, пропозициональные формулы можно алгебраически преобразовывать, например, с целью упрощения выражения или с целью приведения к какой-либо специальной форме.

Дизъюнкцией A₁…A_n от n высказываний A₁, …, A_n называется новое высказывание, истинное, если хотя бы одно из A₁, …, A_n истинно, и ложное, если все A₁, …, A_n ложны. Конъюнкцией A₁…A_n от n высказываний A₁, …, A_n называется новое высказывание, истинное, если все A₁, …, A_n истинны, и ложное, если хотя бы одно из A₁, …, A_n ложно.

Законы дистрибутивности и де Моргана обобщаются и для n-местных операций дизъюнкции и конъюнкции:

B(A₁…A_n)(BA₁)…(BA_n);

B(A₁…A_n)(BA₁)…(BA_n);

(A₁…A_n)(A₁)…(A_n);

(A₁…A_n)(A₁)…(A_n).