Лекция № 8.

Тема: ТЕОРЕМЫ В ИСЧИСЛЕНИИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Пример доказательства теорем

2. Доказательства производных правил вывода

3. Теорема дедукции

Краткое содержание лекционного материала

Теоремы подразделяются на аксиомы и на доказываемые теоремы. Среди правила вывода также имеется основное правило (MP) и производные правила вывода – доказываемые следствия из конечного множества формул.

Приведем примеры теоремы системы S₁:

(T₁) ^AA.

Построим вывод теоремы (T₁):

1) (A((AA)A))(((AA)A)(AA)) (A₂)

2) A((AA)A) (A₁)

3) ((AA)A)(AA) (MP), 2), 1)

4) A(AA) (A₁)

5) AA (MP), 4), 3)

Приведем пример производного правила вывода системы S₁:

(P₁) A^ BA.

Построим вывод правила (P₁):

1) A гипотеза

2) A(BA) (A₁)

3) BA (MP), 1), 2)

Далее для доказательства теорем и правил, мы приводим сокращенные выводы, в которых имеются не только аксиомы и заключения правила (MP), но и доказанные теоремы и заключения доказанных новых правил вывода (конечно, при условии, что посылки предшествуют заключениям).

Следующее правило вывода называется правилом силлогизма:

(P₂) AB,BC^ AC.

Построим (сокращенный) вывод правила (P₂):

1) AB гипотеза

2) BC гипотеза

3) A(BC) (P₁), 2)

4) (A(BC))((AB)(AC)) (A₂)

5) (AB)(AC) (MP), 3), 4)

6) AC (MP), 1), 5)

«Две посылки импликации можно будет переставлять местами»:

(P₃) A(BC)^ B(AC).

Вывод правила (P₃):

1) A(BC) гипотеза

2) (A(BC))((AB)(AC)) (A₂)

3) (AB)(AC) (MP), 1), 2)

4) B(AB) (A₁)

5) B(AC) (P₂), 4), 3)

«Из двойного отрицания следует сама формула»:

(T₂) ^{ }AA.

Вывод теоремы (T₂):

1) (AA)((AA)A) (A₃)

2) (AA)((AA)A) (P₃), 1)

3) AA (T₁)

4) (AA)A (MP), 2), 3)

5) A(AA) (A₁)

6) AA (P₂), 5), 4)

«Из формулы следует ее двойное отрицание»:

(P₄) A^{ }A.

Вывод правила (P₄):

1) (AA)((AA)A) (A₃)

2) AA (T₂)

3) (AA)A (MP), 1), 2)

4) A гипотеза

5) AA (P₁), 4)

6) A (MP), 5), 3)

«Из отрицания посылки следует вся импликация»:

(P₅) ^A^AB.

Вывод правила (P₅):

1) ^A гипотеза

2) (BA)((BA)B) (A₃)

3) BA (P₁), 1)

4) (BA)B (MP), 3), 2)

5) A(BA) (A₁)

5) AB (P₂), 5), 4)

Версия закона о противоречии:

(P₆) A,^A^B.

Вывод правила (P₆):

1) A гипотеза

2) ^A гипотеза

3) AB (P₅), 2)

4) B (MP), 1), 3)

Версия правила (MP):

(P₇) A^ (AB)B.

Вывод правила (P₇):

1) (AB)(AB) (T₁)

2) A((AB)B) (P₃), 1)

3) A гипотеза

4) (AB)B (MP), 3), 2)

«Если посылка истинна, а заключение ложно, то импликация ложна»:

(P₈) A,^B^{ }(AB).

Вывод правила (P₈):

1) A гипотеза

2) ^B гипотеза

3) (AB)B (P₇), 1)

4) ^(AB)^B (P₁), 2)

5) ^(AB)(AB) (T₂)

6) ^(AB)B (P₂), 5), 3)

7) (^(AB)B)((^(AB)B)^(AB)) (A₃)

8) (^(AB)B)^(AB) (MP), 4), 7)

9) ^(AB) (MP), 6), 8)

В силу правила (MP) справедливо следующее утверждение:

если ^AB, то , A^B.

Обратное утверждение называется теоремой дедукции и существенно упрощает доказательства некоторых теорем исчисления высказываний.

Теорема дедукции. Если , A^B, то ^AB.

Доказательство. Применим индукцию по следствиям.

Если B – аксиома или B, то ^AB по правилу (P₁).

Если BA, то ^AB в силу теоремы (T₁).

Пусть следствие , A^B получается по правилу (MP) из формул D и DB, таких, что , A^D и , A^DB. Тогда, по индуктивному предположению, ^AD и ^A(DB). Далее, в силу аксиомы (A₁), верно, что ^(A(DB))((AD)(AB)). К этим трем следствиям из множества  два раз применим (MP), и получим ^AB. 

Следствие. Если A^B, то ^AB.

При помощи теоремы дедукции легче доказываются многие теоремы и правила вывода исчисления высказывания. Для примера приведем доказательства правил (P₂) и (P₃) при помощи теоремы дедукции.

(P₂) AB,BC,A^ C.

Вывод правила (P₂):

1) AB гипотеза

2) BC гипотеза

3) A гипотеза

4) B (MP), 3), 1)

5) C (MP), 4), 2)

По теореме дедукции из (P₂) следует (P₂).

(P₃) A(BC),B,A^ C.

Вывод правила (P₃):

1) A(BC) гипотеза

2) B гипотеза

3) A гипотеза

4) BC (MP), 3), 1)

5) C (MP), 2), 4)

По теореме дедукции из (P₃) следует (P₃).