9. Вопросы к экзамену

1. Высказывания. Операции над высказываниями

2. Пропозициональные формулы. Таблицы истинности

3. Тавтологии, противоречия. Способы доказательства тавтологий

4. Равносильные формулы. Способы доказательства эквивалентностей

5. Законы алгебры высказываний.

6. Логическое следствие. Способы доказательства следствий

7. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы

8. Совершенные конъюнктивные нормальные формы

9. Применения булевых законов к релейно-контактным схемам

10. Определение одних логических связок в терминах других связок

11. Полные системы связок

12. Формулы и теоремы исчисления высказываний

13. Вывод формулы из множества формул

14. Непротиворечивость исчисления высказываний

15. Теорема дедукции для исчисления высказываний

16. Полнота исчисления высказываний

17. Независимость аксиом исчисления высказываний

18. Свободные и связанные переменные. Предикаты

19. Множества истинности предикатов

20. Операции над предикатами.

21. Кванторы существования и всеобщности

22. Формулы логики предикатов

23. Свойства кванторов существования и всеобщности

24. Ограниченные кванторы существования и всеобщности

25. Виды теорем. Необходимые и достаточные условия

26. Язык первого порядка. Термы и формулы

27. Теория первого порядка (без равенства)

28. Теория первого порядка (с равенством)

29. Теоремы в теориях первого порядка

30. Интерпретации языка (теории) первого порядка

31. Истинность формул в интерпретации

32. Модели теорий. Истинность формул в теории

33. Логически общезначимые формулы

34. Свойства теорий первого порядка

35. Непротиворечивость теорий

36. Полнота теорий в широком и узком смысле

37. Две формулировки теоремы Геделя о полноте

38. Формальная арифметика.

39. Две теоремы Геделя о неполноте (формулировки)

40. Разрешимость теорий

10. Рекомендуемая литература

1. Основная литература

1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Академия, 2008. – 448 с.

2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. - М.: Академия, 2007. – 304 с.

3. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов. - М.: Инфра-М, 2008. – 224 с.

4. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Физматлит, 2004. – 256 с.

2. Дополнительная литература

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1976. – 320 с.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А.Математическая логика. – М.: Наука, 1987. – 336 с.

3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. – М.: КомКнига, 2006. – 240 с.

4. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М.: Наука, 1973. –

400 с.

5. Шенфилд Дж. Математическая логика. – М., Наука, 1975. – 528 c.

6. Шапорев С. Д. Математическая логика. Курс лекций и практических занятий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и методики преподавания математики

Комплект учебно-методических материалов к учебной дисциплине:

Математическая логика

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

для направления 540200 «Физико-математическое образование»

Профиль «Информатика»

Ведущий лектор:

Вахитов Р.Х, доцент, кандидат физико-математических наук, доцент

Воронеж

2011

Лекция № 1.

Тема: ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Из истории математической логики

2. Основные задачи и разделы математической логики

3. Что такое высказывание?

4. Лоические связки и истинностные функции

5. Операции над высказываниями и соответствующие им истинностные функции

Краткое содержание лекционного материала

Высказывание – это повествовательное предложение A, которое может быть либо истинным, либо ложным. Мы приписываем высказыванию A одно из двух истинностных значений: 1, если A истинно, и 0, если A ложно.

Логические связки – это слова вида «не», «и», «или», используемые для построения новых высказываний из высказываний, ранее построенных.

Истинностные функции (или функции истинности) – это функции, определенные на множестве {1,0} и со значениями на множестве {1,0}. Каждой логической связке соответствует ровно одна истинностная функция.

Отрицанием A высказывания A называется высказывание, получаемое из A с помощью частицы «не» («неверно, что»). При этом A истинно, если A ложно, и A ложно, если A истинно:

A	A
1	0
0	1

Значит, связке  соответствует истинностная функция h_(x), такая, что h_(1)0 и h_(0)1.

Дизъюнкцией AB двух высказываний A и B называется высказывание, образуемое из A и B с помощью союза «или». При этом AB истинно, если хотя бы одно из A и B истинно, и AB ложно, если оба A и B ложны:

A	B	AB
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Значит, связке  соответствует истинностная функция h_(x,y), такая, что h_(1,1)h_(1,0)h_(0,1)1 и h_(0,0)0.

Конъюнкцией AB двух высказываний A и B называется высказывание, составленное из A и B с помощью союза «и». При этом AB истинно, если оба A и B истинны, и AB ложно, если хотя бы одно из A и B ложно:

A	B	AB
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Значит, связке  соответствует истинностная функция h_(x,y), такая, что h_(1,1)1 и h_(1,0)h_(0,1)h_(0,0)0.

Импликацией AB высказываний A и B называется высказывание, построенное из A и B с помощью союза «если…то». При этом AB истинно, если оба A и B истинны («из истины следует истина!») или если A ложно («изо лжи следует что угодно!»), и AB ложно, если A истинно и B ложно («из истины ложь не следует!»):

A	B	AB
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Значит, связке  соответствует истинностная функция h_(x,y), такая, что h_(1,1)h_(0,1)h_(0,0)1 и h_(1,0)0.

Эквивалентностью AB высказываний A и B называется высказывание, полученное из A и B с помощью союза «тогда и только тогда, когда». При этом AB истинно, если оба A и B одновременно либо истинны, либо ложны, и AB ложно, если одно из A и B истинно, а другое ложно:

A	B	AB
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Значит, связке  соответствует истинностная функция h_(x,y), такая, что h_(1,1)h_(0,0)1 и h_(1,0)h_(0,1)0.