Лекция № 7.

Тема: ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение формальной системы

2. Метод доказательства индукцией по формулам

3. Выводом формулы из множества формул

4. Исчисление высказываний

Краткое содержание лекционного материала

Формальная система S определена, если:

1) Задано счетное множество символов. Конечная последовательность символов называется словом (или строкой).

2) Выделяется множество формул системы S – подмножество множества слов системы S. Обычно указывается алгоритм построения формул.

3) Выделяется множество аксиом системы S – подмножество множества формул системы S.

4) Выделяется множество правил вывода системы S – множество некоторых отношений между формулами системы S. Если  – правило вывода, (A₁,…,A_m,B), то формулы A₁,…,A_m называются посылками, а формула B – заключением правила . При этом говорят, что формула B непосредственно следует из формул A₁,…,A_m.

Следующее определение формулы системы S₁ является частным случаем определения пропозициональной формулы.

Слово системы S₁ называется формулой системы S₁, если оно построено строго по следующим правилам:

1) пропозициональные переменные – формулы системы S₁;

2) если слово A системы S₁ является формулой системы S₁, то слово A тоже является формулой системы S₁;

3) если слова A и B системы S₁ являются формулами системы S₁, то слово (AB) тоже является формулой системы S₁.

Имеет место метод доказательства индукцией по формулам. Пусть для некоторого свойства формул P(A) доказаны следующие утверждения:

1) если p – пропозициональная переменная, то P(p) верно;

2) если P(A), то P(A) тоже верно;

3) если P(A) верно и P(B) верно, то P (AB) тоже верно.

Тогда свойства P(A) верно для всех формул A системы S₁.

Следующее определение теоремы системы S₁ является частным случаем определения логического следствия.

Выводом формулы A из множества формул  называется конечная последовательность формул A₁,…,A_n, если:

1) A_nA;

2) для каждого i1,…,n формула A_i

(a) является некоторой аксиомой, или

(b) принадлежит множеству , или

(c) непосредственно следует по некоторому правилу вывода из формул A_i1,…,A_im, где 1i₁,…,i_mi.

При этом говорят, что формула A следует из множества формул  (или A следствие из множества ), и пишут ^A (или ^_SA). Если A₁,…,A_m – конечное множество, то пишут также A₁,…,A_m^A (или A₁,…,A_m^_SA).

Формула A системы S называется теоремой системы S, если следует из пустого множества формул. Обозначение: ^A, или ^_SA.

Исчисление высказываний – это формальная система, символами которой являются пропозициональные переменные и связки, а формулами – пропозициональные формулы. Рассмотрим исчисление высказываний S₁ с двумя связками  и  (остальные связки можно определить в терминах  и , например, ABAB и AB(AB)) и со следующими аксиомами и правилом вывода:

(A₁) A(BA);

(A₂) (A(BC))((AB)(AC));

(A₃) (BA)((BA)B);

(MP) A, AB^B

(где A, B, C – это произвольные пропозициональные формулы, построенные из пропозициональных переменных и связок  и ).

Формула системы S называется теоремой системы S, если оно получено строго по следующим правилам:

1) аксиомы (A₁), (A₂), (A₃) являются теоремами системы S;

2) если посылки A и AB правила (MP) – теоремы системы S, то его заключение B – тоже теорема системы S.

Имеет место метод доказательства индукцией по теоремам (мы сформулируем этот метод для теорем системы S). Пусть для некоторого свойства формул P(A) доказаны следующие утверждения:

1) если формула A – одна из аксиом (A₁), (A₂), (A₃), то P(A) верно;

2) если формула A непосредственно следует по правилу (MP) из формул B, BA, P(B) верно, P(BA) верно, то P(A) верно.

Тогда свойство P(A) верно для всех формул A (системы S₁).

При доказательстве общих свойств теорем системы S₁ мы используем индукцию по формулам или индукцию по теоремам, а при доказательстве конкретной теоремы системы S₁ – приводим вывод этой теоремы.