Лекция № 4.

Тема: РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫЕ СХЕМЫ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Электрические схемы с двухпозиционными переключателями

2. Применение алгебры высказываний к релейно-контактным схемам

3. Применение алгебры высказываний к дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным фопмам

Краткое содержание лекционного материала

Рассмотрим электрические схемы, в которых двухпозиционные переключатели соединяются последовательно или параллельно. По виду одной из технических реализаций такие схемы называются релейно-контактными.

Каждой релейно-контактной схеме поставим в соответствие формулу, составленную из букв и связок , , .

Каждый переключатель обозначим некоторой буквой A. При этом считается, что A1, если переключатель пропускает ток, и A0, если переключатель не пропускает ток.

Переключатели, обозначенные одной и той же буквой, работают в одном и том же режиме.

Некоторые переключатели обознаются отрицанием буквы. Предполагается, что переключатель A пропускает ток тогда и только тогда, когда переключатель A не пропускает ток.

Параллельному (последовательному) соединению электрических схем X и Y соответствует дизъюнкция (конъюнкция) высказываний X и Y.

Формула X, соответствующая данной схеме, истинна (ложна) тогда и только тогда, когда эта схема (не) пропускает ток.

Задача. Упростите релейно-контактную схему:

Решение. Составим формулу, соответствующую данной схеме:

(AC)(BC)(ABC)(C(B(AC))).

Применяя законы алгебры высказываний, полученную формулу преобразуем к более простому виду: (AB(AB))C)((CB)(CAC))

(AB)C)((CB)0)(ABB)C(A1)C1CC.

Ответ:

Пропозициональная переменная p или ее отрицание p называется литералом от переменной p. Конъюнкция (дизъюнкция) литералов переменных p₁, …, p_n называется конъюнктом (дизъюнктом).

Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой от переменных p₁, …, p_n называется дизъюнкция (конъюнкция) некоторых конъюнктов (дизъюнктов), содержащие переменные p₁,…, p_n.

Легко увидеть из определения, что отдельные буквы, отрицания букв, дизъюнкции и конъюнкции букв и их отрицаний являются дизъюнктивными и конъюнктивными нормальными формами. Формула p(qr) является дизъюнктивной, но не конъюнктивной, нормальной формой. Эта формула эквивалентна формуле (pq)(pr), являющейся конъюнктивной, но не дизъюнктивной, нормальной формой. Формула в дизъюнктивной (конъюнктивной) форме, равносильная формуле A, называется дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой формулы A.

Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форме формулы A определяются неоднозначно (даже с точностью до перестановки членов и с точностью до числа одинаковых членов дизъюнкции и конъюнкции). Формулы pq и (pq)q являются дизъюнктивными формами формулы (pq).

Задача. Приведите формулу A(p(qr)) к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной форме.

Решение. Применим законы де Моргана, дистрибутивности и двойного отрицания: Ap(qr)p(qr)(pq)(pr).

Ответ: Ap(qr) – дизъюнктивная нормальная форма, A(pq)(pr) – конъюнктивная нормальная форма.