Лекция №18.

Тема: ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАВЕНСТВОМ.

КАТЕГОРИЧНЫЕ ТЕОРИИ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Аксиомы для равенства

2. Теоремы симметричности и транзитивности равенства

3. Изоморфизм интерпретаций

4. Категоричные в мощности теории

Краткое содержание лекционного материала

Теории первого порядка чаще рассматриваются как теории с равенством, в которых предполагается дополнительный логический символ – бинарный предикатный символ  и в которых принимаются следующие дополнительные логические аксиомы:

(A₅) xx;

(A₆) x₁y₁x₂y₂…x_ny_nfx₁x₂…x_nfy₁x₂…x_n;

(A₇) x₁y₁x₂y₂…x_ny_nPx₁x₂…x_nPy₁x₂…x_n.

В формулах (A₅) - (A₇): символы x, x₁, y₁, x₂, y₂, …, x_n, y_n – переменные, f – n-арный функциональный символ, P – n-арный предикатный символ.

В аксиомах (A₅) - (A₇) отражены простейшие, но основные, свойства равенства: (A₅) – свойство симметричности, (A₆) – свойство подстановки для функции, (A₆) – свойство подстановки для отношения. Еще два основных свойства равенства приведем в виде теорем:

(T₃) ^ xyxy; (симметричность)

(T₄) ^ xyyzxz. (транзитивность)

Вывод теоремы (T₃):

1. xyxxyx (A₇), P есть само равенство

2. xx (A₅)

3. xyyx тавтологическое следствие

Вывод теоремы (T₄):

1. xzyxyz (A₇), P есть само равенство

2. yxxyyz тавтологическое следствие

3. xyxy (T₃)

4. xyyzxz тавтологическое следствие, 2, 3

Пусть I, J – две интерпретации языка L. Отображение H:IJ изоморфизмом интерпретаций, если H – биекция и H сохраняет константы, функции, отношения интерпретации I в J:

H(e_I)e_J для каждой константы e из L;

H(f_I(x₁,…,x_n))f_J(H(x₁),…,H(x_n) для каждого n-арного функционального символа f из L;

p_I(x₁,…,x_n)p_J(H(x₁),…,H(x_n) для каждого n-арного предикатного символа p из L.

Отношение изоморфизма между интерпретациями является отношением эквивалентности.

Теория T называется категоричной в мощности m, если теория T имеет хотя бы одну модель мощности m и все модели мощности m теории T попарно изоморфны.

Теория T с нелогической аксиомой xy категорична в мощности 1.

Элементарная теория групп не категорична ни в одной бесконечной мощности m.

Лекция №19.

Тема: СВОЙСТВА ТЕОРИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Теорема истинности

2. Непротиворечивые теории

3. Полные (в широком и узком смысле) теории

4. Две формулировки теоремы Гёделя о полноте теорий

5. Формальная теория арифметики

6. Две теоремы Гёделя о неполноте теорий

Краткое содержание лекционного материала

Вычисление значения (a_x[t])^I терма a_x[t] и истинностного значения (A_x[t])^I формулы A_x[t] не зависит от порядка вычисления

Строго доказывается индукцией по термам и формулам

Лемма 1. Формула xAA_x[t] является логически общезначимой.

Лемма 2. Если переменная x не свободна в формуле A, то из формулы AB логически следует формула AxB.

Формула теории первого порядка T называется истинной в теории T, если она истинна в любой модели теории T.

Теорема истинности. Любая теорема теории первого порядка T является истинной в теории T.

Доказательство индукцией по теоремам. Логические аксиомы являются логически общезначимыми формулами: аксиомы (A₁)-(A₃) как частные случаи тавтологий, а аксиома (A₄) в силу леммы 1. Если T – теория с равенством, то истинностное значение формулы tu, где t, u – термы, определяется следующим образом: (tu)^IИ, если t^Iu^I. Аксиомы (A₅)-(A₇) в любой интерпретации выражают основные свойства равенства, и поэтому будут логически общезначимыми. Следовательно, аксиомы (A₁)-(A₇) истинны в любой интерпретации языка теории T, в частности, в любой модели теории T, т.е. истинны в теории T.

Нелогические аксиомы истинны в теории T по определению модели теории T. Следовательно, все аксиомы теории T истинны в теории T.

Основные правила вывода являются логическими следствиями: правило (MP) – как тавтологическое следствие, а правило () в силу леммы 2. Это значит, что если посылки (MP) и () истинны в теории T, то их заключения тоже истинны в теории T.

Теория T называется (не)противоречивой, если в теории T (не) выводимо противоречие. Из теоремы истинности следует, что если теория T имеет модель, то она непротиворечива. В самом деле, если теория T имеет модель M, а противоречие AA выводимо в теории T, то по теореме истинности формула AA истинна в теории T, чего не может быть.

Теория T обладает свойством полноты в широком смысле, если каждая формула A теории T, истинная в теории T, является теоремой теории T.

Теория T обладает свойством полноты в узком смысле, если теория T непротиворечива и для каждой замкнутой формулы A теории T, не являющейся теоремой теории T, теория T[A] будет противоречивой. При этом теория T называется полной теорией. Легко увидеть, что в полной теории T для каждой замкнутой формулы A теории T, в точности одна из двух формул A и A является теоремой теории T.

Из свойства полноты в узком смысле следует свойство полноты в широком смысле. Пусть T – полная теория, формула A теории T истинна в теории T. Тогда предположим, что формула A не является теоремой теории T. Тогда по определению полной теории T теория T[A*] противоречива. По теореме редукции формула A является теоремой теории T. По теореме истинности формула A истинна в теории T,а формула A ложна в теории T. Получается противоречие: формула A истинна и ложна в теории T. Значит, формула A является теоремой теории T.

В теореме Гёделя о полноте для произвольных теорий первого порядка утверждается свойство полноты в широком смысле. Приведем две эквивалентные формулировки теоремы Гёделя о полноте.

I. Любая формула А теории Т является теоремой теории Т  формула А истинна в теории Т.

II. Теория Т непротиворечива  теория Т имеет модель.

В первой теореме Гёделя о неполноте для теории S опровергается свойство полноты в узком смысле.

I теорема Гёделя о неполноте. Любое непротиворечивое расширение формальной арифметики неполно.

II теорема Гёделя о неполноте. В формальной арифметике N можно построить формулу, которая интерпретируются «N непротиворечива» и которая недоказуема и неопрвержима в N.

1. Проблема разрешимости для теории T. Существует ли алгоритм, который для любой формулы A из теории T за конечное число шагов решает: формула A является теоремой из теории T или нет? При положительном решении этой проблемы теория T называется разрешимой.

2. Проблема разрешимости для множества MU. Существует ли алгоритм, который для любого элемента xU за конечное число шагов решает: xM или нет? При положительном решении этой проблемы множество M называется разрешимым.

3. Проблема разрешимости для функции f:UV. Существует ли алгоритм, который для любого элемента xU за конечное число шагов останавливается и выдает результат f(x)U при условии, что f(x) определено, и не выдает никакого результата или не останавливается при условии, что f(x) не определено? При положительном решении этой проблемы функция f называется вычислимым.

Проблема 1 – частный случай проблемы 2: достаточно принять за M множество теорем теории T и за U множество формул теории T.

Проблема 2 – частный случай проблемы 3: множество M разрешимо, если вычислима его характеристическая функция _M:U{0,1}, такая, что

Теорема Черча. Любое непротиворечивое расширение формальной арифметики неразрешимо.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и методики преподавания математики

Комплект учебно-методических материалов к учебной дисциплине:

Математическая логика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

для направления 050200 «Физико-математическое образование»

Профиль «Информатика»

Составитель:

Вахитов Р.Х, доцент, кандидат физико-математических наук, доцент

Воронеж

2011

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1

Тема: Операции над высказваниями

Продолжительность 2 часа

Цель: решение задач на построение таблицы истинности.

Задачи. 1. Докажите, что формула A(pq)((qr)(pr)) является тавтологией, а формула B((pq)(qr))(pr) – нет.

Доказательство для A провести двумя способами: построением полной таблицы истинности и методом рассуждения от противного.

Для формулы B построить сокращенную таблицу истинности.

2. Докажите построением полной таблицы истинности один из двух законов де Моргана (второй – самостоятельно).

3. Докажите построением сокращенной таблицы истинности один из двух законов дистрибутивности (второй – самостоятельно).

4. Исходя из условий PQ1, QR0, RS0, ST1, определите истинностные значения высказываний P,Q,R,S,T. Найдите самое короткое решение.

Указания к решению задач.

1. Решение. 1) Доказать, что формула A – тавтология, можно двумя способами: построением таблицы истинности или методом от противного.

а) Построим таблицу истинности для формулы A:

p	q	r	pq	qr	pr	(qr)(pr)	A
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

При любом наборе истинностных значений переменных p, q, r формула A принимает значение 1, значит, A – тавтология.

б) Пусть A – не тавтология, т.е. A0 для некоторых значений переменных p, q, r. Тогда для импликаций со значениями 0 последовательно получим: pq1 и (qr)(pr)0; qr1 и pr0; p1 и r0. Далее для импликаций со значениями 1 последовательно получим: q1 и r1. Ввиду полученного противоречия, нельзя предполагать, что A – не тавтология.

2) B – не тавтология, так как B0, если p1, q0 и r0.

Таблицу истинности можно сократить: не надо отдельно выписывать все подформулы формулы A, а достаточно вносить их истинностные значения столбиком под соответствующей логической связкой.

4. По определению импликации из RS0 следует R1 и S0. По определению отрицания S1. По определению эквивалентности из ST0 и S1 следует T0. По определению конъюнкции из QR0 и R1 следует Q0. По определению дизъюнкции из PQ1 и Q0 следует P1. Ответ: (P,Q,R,S,T)(1,0,1,0,0).

Задачи для самостоятельной работы (по вариантам).

1. Докажите двумя способами (при помощи таблицы истинности и методом доказательства от противного), что формула X – тавтология. Решение 2-м способом постройте так, чтобы на каждом шаге истинностное значение определялось бы однозначно.

1	X[(AB)(AC)][A(BC)]
2	X[(AC)(BC)][(AB)C]
3	X[A(BC)][(AB)(AC)]
4	X[(AB)C][(AC)(BC)]
5	X[A(BC)][(AB)(AC)]
6	X[(AB)(AC)][A(BC)]
7	X[(AB)C][(AC)(BC)]
8	X[(AC)(BC)][(AB)C]
9	X[(AB)(AC)][A(BC)]
10	X[(AC)(BC)][(AB)C]

2. Исходя из данных условий, определите истинностные значения высказываний P,Q,R,S,T. Найдите самое короткое решение.

1	PQ1	QR0	RS0	ST0
2	PQ0	QR0	RS1	ST1
3	PQ1	QR1	RS1	ST0
4	PQ1	QR0	RS0	ST1
5	PQ0	QR0	RS1	ST0
6	PQ1	QR1	RS1	ST1
7	PQ1	QR0	RS0	ST0
8	PQ0	QR0	RS1	ST1
9	PQ1	QR1	RS1	ST0
10	PQ1	QR0	RS0	ST1