Практическое занятие №19 Тема: Отрицание формул

Продолжительность 2 часа

Цель: научиться решать задачи на построение отрицания формул.

Задачи. 1. Постройте отрицание формулы xyAxyA (знак  должна располагаться только перед буквой A).

Докажите, что ни сама формула, ни ее отрицание не являются общезначимыми.

2. Упражнение 9.51 (а)-(д) на стр. 195 книги [2].

Указания к решению задач.

1. Решение. 1) Отрицание формулы преобразуем при помощи известных эквивалентностей:

эквивалентные формулы	используемые формулы
(xyAxyA)
	отрицание импликации (AA)AA
xyAxyA
	отрицание квантора общности xPxP
xyAxyA
	отрицание квантора общности xPxP
xyAxyA

Ответ: xyAxyA.

2) Пусть A есть xy, I – любое множество, содержащее не менее двух элементов, i,j – различные элементы из I. Тогда:

(ii)_IИ по смыслу отношения равенства,

(y iy)_IИ по смыслу квантора существования,

(xyA)_IИ по смыслу квантора существования,

(ij)_IЛ по смыслу отношения равенства,

(y iy)_IЛ по смыслу квантора общности,

(xyA)_IЛ по смыслу квантора общности,

(xyAxyA)_IЛ по определению импликации.

Следовательно, данная формула не общезначима.

3) Пусть A есть xyx≠y, I – любое непустое множество. Тогда:

(iji≠j)_IЛ –противоречие (по таблице истинности) для всех i,jI,

(y(iyi≠y))_IЛ по смыслу квантора существования,

(xyA)_IЛ по смыслу квантора существования,

(xyAxyA)_IЛ по определению конъюнкции.

Следовательно, отрицание данной формулы не является общезначимой формулой.

Задача для самостоятельной работы (по вариантам).

Постройте отрицание формулы (знак  должна располагаться только перед буквой A). Докажите, что ни сама формула, ни ее отрицание не являются общезначимыми:

вариант	формула
1	xyAxyA
2	xyAxyA
3	xyAyxA
4	xyAyxA
5	xyAyxA
6	xyAyxA
7	xyAyxA
8	xyAyxA
9	xyAxyA
10	xyAxyA

Используемая литература для практических занятий

1. Мендельсон э. Введение в математическую логику. – м.: Наука, 1976. – 320 с.

2. Игошин в.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. - м.: Академия, 2007. – 304 с.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и методики преподавания математики

Комплект учебно-методических материалов к учебной дисциплине:

Математическая логика

для направления 540200 «Физико-математическое образование»

Профиль «Информатика»

ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Докажите, что одна из формул является тавтологией, а вторая – нет:

;

.

2. Докажите, что одна из формул является тавтологией, а вторая – нет:

;

.

3. Докажите, что одна из формул является тавтологией, а вторая – нет:

;

.

4. Докажите, что одна из формул является тавтологией, а вторая – нет:

;

.

5. Докажите, что одна из формул является тавтологией, а вторая – нет:

;

.

6. Является ли тавтологией формула ?

7. Является ли тавтологией формула ?

8. Является ли тавтологией формула ?

9. Является ли тавтологией формула ?

10. Является ли тавтологией формула ?

11. Является ли тавтологией формула ?

12. Равносильны ли формулы и ?

13. Выразите импликацию в терминах отрицания и конъюнкции.

14. Выразите конъюнкцию в терминах отрицания и импликации.

15. Верно ли, что из формулы следует формула ?

16. Верно ли, что из формул и следует формула ?

17. Верно ли, что из формул и следует формула ?

18. Выразите множество истинности предиката через множества истинности предикатов и .

19. Выразите множество истинности предиката через множества истинности предикатов и .

20. Является ли формула логически общезначимой?

21. Является ли формула логически общезначимой?

22. Является ли формула логически общезначимой?