Лекция №15.

Тема: ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И МОДЕЛИ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Логические и нелогические аксиомы теорий первого порядка

2. Правила вывода теорий первого порядка

3. Модели теорий первого порядка

4. Примеры теорий и их моделей

Краткое содержание лекционного материала

Язык L(T) теории первого порядка T – это язык первого порядка L.

Аксиомы теории первого порядка T подразделяются на аксиомы логические и нелогические. Все теории первого порядка имеют одни и те же схемы логических аксиом, в частности, все теории первого порядка с одним и тем же языком имеют одни и те же логические аксиомы. Множества нелогических аксиом у разных теорий различные; множество нелогических аксиом теории первого порядка может быть и пустым. Теории первого порядка без нелогических аксиом называются исчислениями первого порядка.

Итак, чтобы задать теорию первого порядка T, достаточно указать множества нелогических символов и нелогических аксиом теории T.

Перечислим схемы логических аксиом теорий первого порядка.

A₁ A(BA);

A₂ (A(BC))((AB)(AC));

A₃ (BA)((BA)B);

A₄ xAA_x[t], если терм t допустим для подстановки вместо x в A.

Два основных правила вывода:

MP Из A и AB следует B.

() Из AB следует AxB, если переменная x свободна в A.

Интерпретация M теории первого порядка T называется моделью теории T, если в M истинны все нелогические аксиомы теории T.

Формула теории первого порядка T называется истинной в теории T, если она истинна в любой модели теории T.

Примеры теорий первого порядка и их моделей:

Пример 1. Пусть G – непустое множество, на котором определена бинарная операция . Пара (G,) называется полугруппой, если в G выполняется аксиома ассоциативности операции : x,y,zG (xy)zx(yz).

В алгебре имеется раздел, называемый теорией полугрупп, к которой изучаются полугруппы. Примеры полугрупп: аддитивная полугруппа натуральных чисел (N,), множество целых чисел с вычитанием (Z,), мультипликативная полугруппа квадратных матриц второго (M₂(R),).

Теории первого порядка называются также элементарными теориями.

Элементарной теорией полугрупп называется теория первого порядка G с равенством и с одним нелогическим символом – бинарным функциональным символом , с одной нелогической аксиомой:

(G₁) x,y,z (xy)zx(yz).

Можно сказать, что имеют место следующие этапы абстрагирования: конкретные полугруппы из различных разделов математики, полугруппы в общем виде, элементарная теория полугрупп.

То же самое можно сказать про другие алгебраические структуры – группы, кольца … :

полугруппы  теория полугрупп  элементарная теория полугрупп;

группы  теория групп  элементарная теория групп;

кольца  теория колец  элементарная теория колец ...

Первые алгебраические объекты (полугруппы, группы, кольца и т.п.) – это различные конкретные примеры в математике и ее приложениях.

Вторые – теории, в которых эти алгебраические объекты изучаются в общем виде, при этом применяется теория множеств.

Третьи – теории, в которых общие свойства групп записываются в виде формул, исследуются выводимость формул из аксиом (полугрупп, групп, колец…), без применения теории множеств.

Чтобы установить истинность теорем элементарных теорий, рассматриваются модели теорий. Понятием модели, скажем, элементарной теории групп, является группа в общем виде (изучаемая в теории групп), а конкретными примерами модели элементарной теории групп являются конкретные примеры групп из различных областей математики

В примере 1, полугруппа (G,) – это модель элементарной теории полугрупп G в общем виде, а полугруппы (N,), (Z,), (M₂(R),) – это конкретные примеры моделей элементарной теории полугрупп.

Пример 2. Рассмотрим теорию с равенством без нелогических аксиом. Ее моделями являются произвольные непустые множества. Теория без нелогических символов может иметь нелогические аксиомы. Пусть теория T не имеет нелогических символов, но задается нелогической аксиомой xy. Модели теории T – это все одноэлементные множества.