Министерство образования и науки Российской Федерации

Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ

А.С. Березина, л.Н. Гавришина, а.Г. Седых математический анализ: дифференциальное исчисление

Учебное пособие

Кемерово 2012

УДК 510.2(076)

ББК 74.262

Б48

Рецензенты:

Н.К. Смоленцев, доктор физ.-мат. наук,

профессор кафедры математического анализа

Кемеровского государственного университета;

П.Н. Подкур, канд. физ.-мат. наук, доцент

кафедры высшей и прикладной математики

Кемеровского института (филиал) РГТЭУ

Б48 Березина А.С. Математический анализ: дифференциальное исчисление [Текст] : учебное пособие / А.С. Березина, Л.Н. Гавришина, А.Г. Седых ; Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ. − Кемерово : Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ, 2012. – 68 с.

Содержит теоретический материал, необходимый для решения практических заданий, примеры решения типовых задач, варианты контрольной работы, задачи для практических занятий; предложен контрольный тест для самопроверки и список контрольных вопросов.

Предназначено для студентов экономического факультета всех форм обучения.

УДК 510.2(076)

ББК 74.262

© Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ, 2012

Оглавление

Оглавление 4

Ведение 6

1 Понятие функции 8

2 Предел функции 10

2.1 Понятие предела функции 10

2.2 Правила вычисления пределов 13

2.3 Непрерывность функции 18

3 Производная функции 20

3.1 Понятие производной и дифференциала 20

3.2 Правила дифференцирования 22

4 Использование производных для исследования функций 25

4.1 Возрастание, убывание функции. Точки экстремума 25

4.2 Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба 26

4.3 Асимптоты графика функции 26

4.4 Общая схема исследования функции 28

5 Применение производной в экономических задачах 31

5.1 Предельные показатели в экономике 31

5.2 Понятие эластичности 32

Пример 5.2. Рынок винограда в Москве может быть описан такими функциями спроса и предложения . Чему равна ценовая эластичность спроса и предложения винограда в Москве, если рынок находится в равновесии? 33

5.3 Оптимальное значение экономических функций 34

6 Функция двух переменных 35

6.1 Частные производные. Градиент 35

6.2 Экстремум функции двух переменных 37

6.3 Условный экстремум функции двух переменных 39

7 Варианты контрольной работы 41

Вариант 0 41

Вариант 1 41

Вариант 2 42

Вариант 3 42

Вариант 4 43

Вариант 5 43

Вариант 6 44

Вариант 7 44

Вариант 8 45

Вариант 9 45

8 Методические указания для выполнения 47

контрольной работы 47

9 Контрольные вопросы для зачета 55

Что нужно уметь: 56

10 Контрольный тест для самопроверки 57

11 Задачи для самостоятельного решения 63

11.1 Понятие функции 63

11.2 Предел функции 65

11.3 Непрерывность функции 66

Исследовать на непрерывность функцию , найти точки разрыва и указать характер разрыва. 66

11.4 Производная функции 66

11.5 Приложение производной 68

11.6 Применение производной в экономике 69

11.7 Функция многих переменных 71

Список литературы 73

Ведение

По государственному образовательному стандарту дисциплина «Математический анализ» относится к обязательным базовым дисциплинам.

Цель изучения дисциплинысостоит, во-первых, в изучении основ математического анализа, формировании предусмотренных учебной программой компетенций. Во-вторых, в результате изучения математики студенты должны развить, в частности такие навыки и умения, как логическое мышление, поиск рационального решения любой проблемы.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

• Владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановки цели и выбору пути ее достижения.

• Способность к саморазвитию, повышению квалификации и мастерства.

• Способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов.

• Способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач.

• Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

• Способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии.

Говоря словами М.В. Ломоносова, «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».

Освоение курса предполагает, помимо посещения лекций и практических занятий, самостоятельную работу студентов с изучаемым материалом, половина часов отведенных на изучение предмета приходится на самостоятельную работу. Это следует иметь в виду студентам, приступающим к изучению предмета.

В результате изучения дисциплины студент должен:

• Знать: Основные понятия методы математического анализа, дифференциальных уравнений.

• Уметь: использовать основные методы математического анализа и дифференциальные уравнения в практической деятельности.

• Владеть: Навыками математического анализа для исследования и решения экономических задач.

Для того чтобы успешно освоить учебную программу рекомендуем процесс обучения реализовывать в следующей последовательности:

1. хорошо ознакомиться с теоретическим материалом, запомнить формулы и правила, необходимые для решения задач. На этом этапе можно воспользоваться опорным конспектом в данном пособии и учебником. Для запоминания рекомендуем несколько раз написать формулы на бумаге и произнести правила вслух. При этом работает зрительная, моторная и слуховая память;

2. решение примеров по теме рекомендуем начинать с наиболее простых задач и поэтапно переходить к более сложным задачам.

При подготовке к коллоквиуму по теме или экзамену для самоконтроля усвоения учебного материала рекомендуем воспользоваться контрольным тестом.

Для студентов заочного обучения в пособии приведены варианты контрольной работы, номер варианта совпадает с последней цифрой зачетной книжки.