3.2 Правила дифференцирования

Пусть функции иимеют производные, тогда справедливы следующие правила.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

.

3. Производная произведения двух функций находится по формуле:

.

4. Производная частного вычисляется по формуле:

.

5. Производная сложной функции , гденаходится по формуле

6. Производная обратной функции , гдеинаходится по формуле

7. Производная функции заданной параметрическими уравнениями

находится по формуле

.

Пример 3.1. Найти производные функций:

а); б).

Решение.

Используя данные таблицы производных, получим:

а)

б)

Пример 3.2. Найти производные функций:

а) б).

Решение.

Используя данные таблицы производных и правила производной частного и произведения, получим:

б) .

Пример 3.3. Найти производную сложной функции.

Решение.

Обозначим , тогда получим.

Воспользуемся правилом производной сложной функции и таблицей производных, получим

Пример 3.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции.

Решение. Обратная функция имеет производную. Следовательно,

.

Пример 3.5. Найти производную функции заданной уравнением.

Решение. Продифференцируем уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х.

.

Выразим из полученного уравнения , получим

.

Пример 3.6. Найти производную функции заданной системой

.

Решение. По правилу производной функции заданной параметрическими уравнениями находим

.

4 Использование производных для исследования функций

4.1 Возрастание, убывание функции. Точки экстремума

Достаточное условие возрастания, убывания и постоянства функции. Если в некотором промежутке производная данной функции больше нуля , то функция возрастает в этом промежутке; если производная меньше нуля, то функция убывает. Если производная равна нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Определение. Точками экстремума функции называются точки максимума и минимума. На конечном промежутке у функции может быть несколько максимумов и минимумов, то есть экстремум имеет локальный характер.

Необходимое условие экстремума. Если является точкой экстремума функции, то ее первая производнаяв этой точке равна нулю или не существует. Точки экстремума называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума. Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то есть

при ипри,

то функция в этой точке имеет максимум.

Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с минуса на плюс, то есть

при ипри,

то в этой точке функция имеет минимум.

Пример 4.1. Найти интервалы возрастания и убывания и экстремум функции .

Решение.

Находим производную функции:

.

Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремумаи.

Исследовав знак (рисунок 4.1.), получаем, что на интервалахифункциявозрастает, а на интервале- убывает.

Рисунок 5.1

Точка - точка максимума,- максимальное значение функции, а точка- точка минимума,- минимальное значение функции.

4.2 Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Определение. График функции будетвыпуклым (или вогнутым) на интервале , если любая касательная к кривойна этом интервале проходит выше или ниже этой кривой относительно оси абсцисс.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная функции в интервале, то график функциина этом интервале вогнут. Если, то график функции выпуклый.

Определение. Точка кривой, где выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Достаточное условие точки перегиба. Если вторая производная функциив точкеравна нулю,, и меняет знак при переходе через эту точку, то эта точкаявляется точкой перегиба графика функции.

Пример 4.2. Найти точки перегиба функции .

Решение. Находим производную функции: .

Находим вторую производную функции: . Решая уравнение, получаем точку. Получаем, чтона интервале,на интервале. Следовательно- точка перегиба функции.