6 Функция двух переменных
6.1 Частные производные. Градиент
Функция двух переменных имеет вид z=f(x,y). Геометрически она изображается поверхностью.
В экономических
исследованиях часто используется
производственная функция Кобба-Дугласа
,
гдеz- величина общественного
продукта,x- затраты труда,y-
объем производственных фондов (обычноzиyизмеряются в стоимостных
единицах,x- в человеко-часах);A,,- постоянные. Функция Кобба-Дугласа
является функцией двух независимых
переменных: z = f(x, y).
Функция z=f(x,y) непрерывна, если бесконечно малым приращениям независимых переменных отвечает бесконечно малое приращение функции.
при
и
Для этой функции существуют частные производные.
Определение. Частной производной называется предел отношения частного приращения этой функции к приращению соответствующей переменной при условии, что все остальные аргументы остаются неизменными.
Нахождение частных производных выполняется по обычным правилам дифференцирования функции, при этом значения всех переменных, кроме одной, по которой вычисляется производная, считаются постоянными.
Определение. Второй частной производной называется частная производная от частной производной.
Функция
двух переменных z=f(x,y)
имеет 4 вторые
частные производные:
Вторая
частная производная по двум различным
переменным, например
,
называетсясмешанной.
Величина смешанной производной,
непрерывной при данных значениях х и
у, не зависит от порядка переменных, по
которым берутся производные, т.е.
.
Пример 6.1.
Найти
частные производные первого и второго
порядка от функции
.
Решение.
Находим первую и вторую частные производные по х:
;
.
Находим первую и вторую частные производные по у:
;
.
Находим смешанные вторые частные производные:
;
.
Градиентом
функции двух
переменных называется вектор
или
с координатами
.
Градиент
функции двух
переменных можно представить в виде
,
где
-
единичные вектора осей координат
и
соответственно.
Градиент функции в заданной точке показывает направление самого быстрого роста функции в этой точке.
Пример
6.2. Найти
градиент функции
в точке М(1;1).
Решение.
;
.
.
6.2 Экстремум функции двух переменных
Необходимый признак. Если функция двух переменных z=f(x,y) имеет экстремум в точке, то каждая ее частная производная первого порядка в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточный признак. Чтобы установить имеет ли функция z=f(x,y) экстремум в критической точке, нужно найти вторые производные этой функции по x, по y и смешанную производную
Затем проверить знак выражения
Если
A>0
и
,
то функция в точке имеет минимум. ЕслиA>0
и
,
то функция в точке имеет максимум. ЕслиA<0,
то экстремума нет.
Пример 6.2.
Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум.
Решение.
Находим частные производные:
=
- 2y2
+ 2x;
=
4y3
- 4xy +2 +2y.
Для отыскания критических точек решим систему уравнений:
.
Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, «подозрительная на экстремум».
Находим вторые частные производные в найденной точке:
.
Проверим знак выражения
.
Так
как A>0
и
,
то функция в точкеMo(1,-1)
имеет минимум.
Вычислим z min = (-1)4 - 21(-1)2 +1 - 2 +1 = -1.