Лекция №16.

Тема: ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Теорема о тавтологии

2. Теорема о тавтологическом следствии

3. Теорема редукции

4. Теорема подстановки для квантора 

5. Производныое правила: введения , обобщения, подстановки

Краткое содержание лекционного материала

Пусть P – тавтология с пропозициональными переменными p₁,…,p_n, а A – формула, полученная из P заменой каждого вхождения переменой p_i формулой B_i для всех i1,…,n (B₁,…,B_n – формулы теории первого порядка). Формула A называется частным случаем тавтологии P.

Поскольку теории первого порядка содержат аксиомы A₁-A₃ и правило MP, то из исчисления высказываний можно перенести следующую теорему.

Теорема о тавтологии. Пусть формула A теории T является частным случаем некоторой тавтологии. Тогда A – теорема T.

Если формула A₁…A_nB теории T – частный случай тавтологии, то формула B называется тавтологическим следствием формул A₁-A_n.

Из теоремы о тавтологии следует

Теорема о тавтологическом следствии. Пусть формула B является тавтологическим следствием теорем A₁-A_n. Тогда B – тоже теорема T.

Формула A*x₁…x_nA, где x₁,…,x_n – все свободные переменные формулы A, называется замыканием формулы A.

Теорема редукции. Формула A теории T является теоремой теории T тогда и только тогда, когда теория T[A*] будет противоречивой.

Аксиома (A₄) называется аксиомой подстановки для квантора . Докажем теорему подстановки для квантора :

(T₁) ^A_x[t]xA.

Доказательство построим в виде вывода:

1. xAA_x[t] (A₄)

2. A_x[t]xA тавтологическое следствие

3. A_x[t]xA определение квантора 

Правило () называется правилом введения квантора . Докажем правило введения квантора :

() AB^xAB,

где переменная x не свободна в B. Доказательство построим в виде вывода:

1. AB гипотеза

2. BA тавтологическое следствие

3. BxA правило ()

4. xAB тавтологическое следствие

5. xAB определение квантора 

Следующее правило называется правилом обобщения:

(P₁) A^xA.

Доказательство построим в виде вывода:

1. A гипотеза

2. xAA тавтологическое следствие

3. xAxA правило ()

4. xA тавтологическое следствие

Следующее правило называется правилом подстановки:

(P₂) A^ A_x[t].

Доказательство построим в виде вывода:

1. A гипотеза

2. xA (P₁)

3. xAA_x[t] (A₄)

4. A_x[t] (MP)

Формула A^x₁…x_nA называется замыканием формулы A, если x₁,…,x_n – все переменные, свободные в A. Из определения истинностного значения формулы – обобщения следует, что формула A и ее замыкание A^ логически эквивалентны: AA^.

Теорема о замыкании. ^A^^A.

Доказательство. 1) Пусть ^A. Тогда n раз применим правило обобщения (P₁), и получим, что ^A^.

2) Пусть ^A^. Тогда запишем n аксиом подстановки (A₄):

x₁x₂x₃…x_n1x_nAx₂x₃…x_n1x_nA;

x₂x₃…x_n1x_nAx₃…x_n1x_nA;

……………………………………..

x_n1x_nAx_nA;

x_nAA.

Применим n раз правило (MP), и получим, что ^A. 

Формула без свободных вхождений переменных называется замкнутой. В частности, замыкание формулы является замкнутой формулой.

(T₂) ^x(AB)(AxB),

где переменная x не свободна в A.

Доказательство построим в виде вывода:

1. x(AB)(AB) (A₄)

2. (x(AB)A)B)) тавтологическое следствие

3. (x(AB)A)xB)) ()

4. x(AB)(AxB) тавтологическое следствие