Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.

Вектор функции y1-(t)…yn-(t) называются линейно зависимыми на [a, b], если найдутся комплексные константы c1,…,cm, Add<j=1, m>|cj| >0 такие, что c1y1-(t) +…+cnyn-(t) = 0, для любого t Є [a, b]. Если равенство выполнено только для тривиального случая,. то они линейно независимы. Замечание: если функции принимают только вещественные значения, то достаточно рассматривать вещественные коэффициенты. Определителем Вронского системы заданных на [a, b] вектор функций y1-(t),…,ym-(t) называется зависящий от переменной t Є [a, b] определитель матричной функции Y(t) = (y1-(t),…,ym-(t)) д(t) = detY(t). Т Если система вектор функций является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронского этой системы тождественно равен 0 на этом отрезке: д(t) = 0, для любого t Є [a, b]. Док-во: из условия линейной зависимости вытекает существование ненулевого вектора c- = (c1,…,cm)T, что для произвольного фиксированного t0 Є [a, b] справедливо Y(t0) c- = 0. Равенство означает, что система линейных алгебраических уравнений с числовой матрицей Y(t0) имеет нетривиальное решение. ЧТД. Пример неверности обратного: отрезок [-1, 1]. y1-(t) = (t^3, t^2)T, y2-(t) = (t^2|t|, t|t|), detY(t) = 0, но они линейно независимы. Если для c- = (c1, c2)T справедливо Y(t)c- = 0 в каждой точке отрезка, то при t = 1 c1 + c2 = 0, t = -1 c1 – c2 = 0. ЧТД.

Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.

Рассмотрим систему из n-мерных вектор функций, являющихся решением ЛОСДУ. Y(t) – соответствующая матричная функция. Кол-во вектор функций совпадает с порядком системы. Т пусть y1-(t),…,yn-(t) – система вектор-функций рещений ЛОС на [a, b]. Если найдется точка t0 Є [a, b], для которой detY0(t0) = 0, то система вектор-функций y1-(t),...,yn-(t) линейно зависима на [a, b] и detY(t) = 0, для любой t Є [a, b]. Док-во: однородная система линейных алгебраических ур-й относительно вектора c- = (c1,…,cn)T Y(t0)c- = 0 имеет ненулевое решение c0- (в силу вырожденности Y(t0)). Положим y-(t) = Y(t)c0-. Те y-(t) – решение исходной однородной системы как линейная комбинация, кроме того y-(t0) = 0. Те построенная функция – решение задачи Коши с нулевым начальным условием при t = t0. dy-(t)/dt = A(t)y-(t), y-(t0) = 0. По теореме единственности решения задачи Коши имеет единственное решение – 0. Те рассматривамая система функций вырожденная. ЧТД. Как следствие Т об альтернативе для определителя Вронского: Определитель Вронского для вектор-функций y1-(t),…,yn-(t) являющихся решениями ЛОСДУ на [a, b], либо тождественно равен 0, либо не обращается в 0 ни в одной точке отрезка.

Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.

ФСР ЛОСДУ dy-(t)/dt = A(t)y-(t) порядка n на [a, b]] называется совокупность линейно независимых решений y1-(t),…,yn-(t) этой системы. Соответствующая этим решениям функциональная матрица Y(t) = (y1-(t),…,yn-(t)) называется фундаментальной матрицей. В силу Б20 фундаментальная матрица является решением матричного ДУ, а в силу Б22 она имеет на отрезке отличный от 0 определитель. Т Для любой ОСЛДУ вида dy-(t)/dt = A(t)y-(t) с непрерывными на [a, b] коэффициентами существует ФСР. Док-во: Зафиксируем t0 Є [a, b] и рассмотрим задачу Коши dY(t)/dt = A(t)Y(t), Y(t0) = E, E – единичная матрица. Расписываем по столбцам и получаем, что построенная задача Коши эквивалента n задачам Коши: dyj-(t)/dt = A(t)yj(t), yj-(t0) = (0,…0, 1,0,…,0)T, j = 1,…,n. Отличаются лишь начальными данными. Существование решений yj-(t) этих задач Коши, а значит и решения Y(t) матричной задачи Коши. Поскольку определитель отличен от 0, detY(t0) = detE = 1, то линейная независимость на рассматриваемом отрезке построенной системы решений есть следствие теоремы об альтернативе Б22. Те построенная система – фср, а Y(t) – фундаментальная система. Общим решением ЛОСДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого ур-я такое, что любое другое решение этой системы может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Пусть Y(t) = (y1-(t),…,yn-(t)) – фундаментальная матрица для ЛОС dy-(t)/dt = A(t)y-(t) на [a,b]. Тогда её общее решение представимо в виде yoo-(t) = c1y1-(t) +…+cnyn-(t) = Y(t0c-, где c1,…,cn – произвольные постоянные, c- = (c1,…,cn). Док-во: Y(t)c- - решение однородной системы как линейная комбинация для любых c- Є c^n. Те надо показать, что найдется такой c~ для любого решения, что на [a, b] верно y~(t) = Y(t)c~. Для построения c~ зафиксируем t0 Є [a, b] и вычислим y0- = y~(t0). Рассмотрим систему ур-й Y(t0)c~ = y0-. Эта система имеет единственное решение. Тогда две функции – решения одной и той же задачи Коши… ЧТД. Следствие: в ходе док-ва была выведена формула для решения задаи Коши с произвольным начальным вектором y0~. c~ = Y^(-1)(t0)y~0 и подставим получи y-(t) = Z(t, t0)y-0, Z(t, t0) = Y(t)Y^(-1)(t0). Функциональная матрица Z(t, t0) – матрициан. Как матричная функция переменной t она является решением задачи Коши: dZ(t, t0)/dt = A(t)Z(t, t0), Z(t0, t0) = Y(t0)Y^(-1)(t0) = E.