- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
Рассмотрим ЛНС с непрерывным вектором f-(t) = (f1(t),…,fn(t))T: dy-(t)/dt = A(t)y-(t) + f-(t), Y(t) – фундаментальная матрица однородной системы.
Общим решением ЛНСДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этой системы такое, что любое другое решение системы может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Общее решение yOH-(t) ЛНСДУ представимо в виде: yOH(t) = Y(t)c- + yH-(t), для любых c- Є (c1,…,cn)T Є C^n, где yH-(t) – некоторое (частное) решение НС. Док-во: вектор yOH точно решение в силу линейности. Наличие разложение для любого показывается с помощью рассмотрения разности общего и частного и Б23. ЧТД. Т Для любого t0 Є [a, b] формула yH-(t) = $<t0, t>Z(t, u)f-(t)du, t Є [a, b], задает частное решение неоднородной системы, удовлетворяющее условию yH-(t0) = 0. Док-во: воспользуемся методом вариации постоянных. y-(t) = Y(t)c-(t). Поскольку фундаментальная матрица удовлетворяет dY(t)/dt = A(t)Y(t), то dy-(t)/dt = dY(t)c-(t)/dt + Y(t)dc-(t)/dt = A(t)Y(t)c-(t) + Y(t)dc-(t)/dt. Подставив их в исходную систему получим Y(t)dc-(t)/dt = f-(t). В силу невырожденности Y(t) это ур-е переписывается как dc-(t)/dt = Y^(-1)(t)f-(t) и проинтегрировать от t0 до t. Получаем c-(t) = $<t0, t>Y^(-1)(u)f-(u)du. После подстановки получаем ЧТД. Следствие: Решение y-(t) = y-(t, y0-) задачи Коши для ЛНС … c заданным в точке t0 начальным условием … имеет вид y-(t, y0-) = Z(t, t0)y0- + $<t0, t>Z(t, u)f-(u)du.
Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
Рассмотрим ОСОДУ с постоянной матрицей коэффициентов A (t) = A = (aij), ai,j Є R, i,j = 1…n: dy-(t)/dt = Ay-(t). По аналогии со скалярным уравнением y’(t) = ay(t), которое имеет решение y(t) = hexp{at} для любого h Є C будем искать нетривиальное решение системы в виде y-(t) = h-exp{lt}, h- = (h1,…,hn)T Є C^n, l Є C. Подстановка этой вектор функции приводит к задаче нахождения l Є C: (A – El)h- = 0 имеет нетривиальное решение h-. l – собственные значения A, h- - собственные векторы. Собственные значения и только они являются корнями хар многочлена M(l) = det(A-lE) = 0. Раз хар многочлен имеет степень n, то у него ровно n корней, с учетом кратности. Существует не более чем n линейно независимых собственных векторов. Т Пусть у матрицы A имеется ровно n линейно независимых собственных векторов h1-,…,hn- отвечающих соответственным собственным значениям l1,…,ln. Тогда вектор-функции y1-(t) = h1-exp{l1t},…,yn-(t)= hn-exp{lnt} – ФСР на произвольном [a, b]. Док-во: рассмотрим произвольный отрезок [a, b]. Любой собственный вектор hj- и соответствующее ему lj удовлетворяют (A- ljE)hj- = 0, те все yj-(t) = hj-exp{ljt} являются решением системы на [a, b] по построению. Для убеждения в их независимости по т об альтернативе достаточно убедится, что detY(t) ≠ 0 в одной точке. Рассмотрим [c, d]: [a, b] Є [c,d] и 0 Є [c, d]. В 0 определитель не обращается в 0, значит везде не обращается в 0, значит и на [a, b]. ЧТД.