Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.

Рассмотрим нормальную систему ДУ n-ого порядка {dx1(t)/dt = f1(t, x1(t),…,xn(t)),…,dxn(t)/dt = fn(t,x1(t),…,xn(t))} (17). Первым интегралом системы (17) в области D1 называется функция v(t, x1,…,xn) Є C1(D1), сохраняющая постоянное значение вдоль каждой лежащей в D1 интегральной кривой (17). Те для каждого решения x-(t) = (x1(t),…,xn(t)) найдется C: v(t, x1(t),…,xn(t)) = C. Производной функции v(t, x1,…,xn) Є C1(D1) в силу (17) называется функция dv/dt|(17) = dv(t, x-)/dt + Add<j=1, n>[dv(t, x-)/dxj]fj(t, x-), (t, x-) Є D1. Лемма: функция v(t, x1,…,xn) Є C1(D1) является первым интегралом (17) тогда и только тогда, когда её производная равна 0 в D1. dv/dt|(17) = 0. Док-во: Пусть ф-я – первый интеграл. Тогда на лежащей в области интегральной кривой (t, x-(t)), x-(t) – решение (17) справедливо равенство (определение). Продифференцируем почленно по t и подставляя выражения для производных получим 0 = dv(t, x-(t))/dt + Add<j=1, n>{dv(t, x-(t))/dxj}{dxj(t)/dt} = dv(t, x-(t)/dt + Add<j=1, n>dv(t, x-(t))/dxj fj(t, x-(t)). Те производная вдоль любой интегральной кривой равна 0, а через теорему о существовании и единственности задачи – получаем, что через любую точку проходит только одна интегральная кривая. Те производная в любой точке равна 0. Обратно – пусть для некоторой v(t, x1,…,xn) Є C1(D1) верно условие Т. В частности – будет верно для любой интегральной кривой. Записать равенсвто 0 по кривой и, проинтегрировав получить ЧТД. Пусть v1(t, x-),…,ck(t, x-) – первые интегралы (17). Тогда для любой непрерывно диф-мой в R^k функции h(y1,…,yk) суперпозиция H(t, x-) = h(v1(t, x-),…,vn(t, x-)) – тоже первый интеграл. Первые интегралы v1(t, x-)…vn(t,x-) системы (17) называются функционально независимыми в области D1, если ранг матрицы производных равен кол-ву функций k: rang(dvi(t,x-)/dxj) = k, для любых (t, x-) Є D1. Т Пусть в области D1 существует n функционально независимых первых интегралов v1(t, x-),…,vn(t, x-) системы (17). Тогда для любой точки (t0, x0-) Є D1 решение x-(t) = (x1(t),…,xn(t)) задачи Коши dxk(t)/dt = fk(t, x1(t),…,xn(t)), k =1,…,n, x-(t0) = x0- однозначно определяется как неявная функция из системы ур-й {v1(t, x-) = c10,…,vn(t, x-) = cn0} (18), где cj0 = vj(t0, x0-), j=1,…,n. Док-во: рассмотрим (18) в окрестности (t0, x0-). В самой точке очевидно верно, причем в силу функциональной независимости первых интегралов якобиан по переменным (x1,…,xn) отличен от 0: det(dvi(t0,x0-)/dxj) ≠ 0. По т о неявных функциях в некоторой окрестности x0 существуют непрерывно диф-мые функции xj(t) = gj(t, c10,…,cn0), j=1,…,n, такие, что (18) верно. Пусть x-(t) – решенение задачи Коши. По определению первых интегралов имеем vj(t, x-(t)) = vj(t0, x-(t0)) = vj(t0, x0-) = cj0, j=1,…,n. Те x-(t) удовлетворяет той же системе, что и g-(t). В силу единственности фнкции в окрестности x-(t) = g-(t).

Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.

Пусть u(x-) = u(x1,…,xn) – функция от x-(x1,…,xn) Є D0, D0 – область в R^n. Уравнение F(x1,…,xn, u, du/dx1,…,du/dxn) = 0 называется ДУ в частных производных 1ого порядка, если заданная функция F(x1,…,xn, u, p1,…,pn) существенно зависит от последних n аргументов. ДУ в частных производных называется квазилинейным, если в это ур-е производные входят линейно, те Add<j=1, n>aj(x1,…,xn,u(x-))du(x-)/dxj = b(x1,…,xn, u(x-)), где функции aj(x-, u) = aj(x1,…,xn, u), b(x-, u) = b(x1,…,xn, u) считаются заданными функциями на некотором мн-ве D1 Є R^(n+1), причем всюду в D1 выполнено условие Add<j=1, n>aj^2(x-, u) ≠ 0. ДУ в частных производных называется линейным однородным, если коэффициенты этого ур-я не зависят от u, а правая часть равна 0. Add<j=1, n>aj(x-)du(x-)/dxj = 0, где aj(x-) заданы на D0 Є R^n, причем всюду в D0 выполнено условие Add<j=1,n>aj^2(x-) ≠ 0. Очевидно, что ЛОД в частных производных - частный случай квазилинейного ур-я. Функция u(x-) называется решением квазилинейного ур-я в частных производных первого порядка в области D0 Є R^n, если 1) u(x-) непрерывно диф-ма в D0; 2) для любого x- Є D0 точка (x-, u(x-)) Є D1; 3) при подстановке функции u(x-) в обе части квазилинейного ур-я получается тождество в области D0. Рассмотрим ЛОДУ в частных производных первого порядка в области D0 Є R^n: a1(x-)du/dx1 + a2(x-)du/dx2+…+an(x-)du/xn = 0, aj(x-) Є C1(D0), j = 1,…,n, Add<j=1, n>aj(x-)^2 ≠ 0, для любого x- Є D0 (19). По коэффициентам (19) построим с ОДУ n-ого порядка {dx1(t)/dt = a1(x1(t),…,xn(t)),…,dxn(t)/dt = an(x1(t),…,xn(t))}(20). Решения x-(t) = (x1(t),…,xn(t)) системы (20) определяют фазовые кривые в пр-ве R^n, которые называются характеристиками ур-я в частных производных. Лемма: функция u(x-) Є C1(D0) является решением ЛОДУ в частных производных (19) тогда и только тогда, когда u(x-) является не содержащим t первым интегралом системы (20) в области D0. Док-во: Пусть u(x-) – не содержащий t первый интеграл (20) в области D0. Тогда по лемме о первом интеграле его производная в силу системы (20) равна 0 в области D0: du/dt|(20) = Add<j=1, n>du(x-)/dxjaj(x-) = 0, для любого x- Є D0. Поэтому u(x-) – решение (19). Обратно – пусть u(x) – решение (19). Тогда его левая часть представляет собой выражение для производной u-(x) в силу (20) это выражение равно 0 в области D0. По лемме заключаем, что это первый интеграл. ЧТД. Т Пусть в области D0 система (20) имеет ровно n-1 не содержащих t функционально независимых первых интегралов v1(x1,…,xn),…,v<n-1>(x1,…,xn). Тогда в некоторой окрестности точки M0(x10,…,xn0) Є D0 общее решение ЛОУ в частных производных имеет вид u(x-) = F(v1(x-),…,v<n-1>(x-)), где F(y1,…,y<n-1>) – произвольная непрерывно диф-мая функция. Док-во: если vj(x-) – первые интегралы системы (20), то для любой … F(y1,…,y<n-1>) функция u-(x) тоже первый интеграл, не зависящий от t. Тогда по лемме u(x-) – решение однородного ур-я. Убедимся, что формулой охватываются все решения в окрестности каждой M0. Пусть u(x-) – произвольное фиксированное решение u(x-) = F(…). Так как функции v1(x-),…,v<n-1>(x-) – первые интегралы, то они решения. Те {Add<j=1, n>aj(x-)du(x-)/dxj = 0,Add<j=1, n>aj(x-)dv1(x-)/dxj = 0,…,Add<j=1, n>aj(x-)dv<n-1>(x-)/dxj = 0}(21). В каждой точке x- Є D0 (из 20) система (21) представляет собой имеющую нетривиальное решение a1(x-),…,an(x-) однородную систему линейных алгебраических ур-й. Определитель этой системы, представляющей собой определитель функциональной матрицы, равен 0. D(u, v1,…,v<n-1>)/D(x1,…,xn) = 0, для любого x Є D0. При этом в силу функциональной независимости v1(x-),…,v<n-1>(x-) соответствующий минор (n-1)ого порядка отличен от 0. Тогда по т о функциональных матрицах в окрестности каждой точки M0 найдется непрерывно диф-мая функция F(y1,…,y<n-1>) такая, что в окрестности M0 справедливо условие Т.

Билет 41. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о неявном определении решения через первый интеграл. Характеристики. Необходимое и достаточное условие для решения уравнения.

Рассмотрим квазилинейное ур-е в частных производных первого в области D Є R^(n+1) a1(x-, u(x-))du/dx1 + a2(x-, u(x-))du/dx2 +…+an(x-, u(x-))du/dxn = b(x-, u(x-)), aj(x-, u), b(x-, u) Є C1Δ, j=1,…,n, Add<j=1, n>aj(x-, u)^2 ≠ 0, для любых (x-, u) Є D. Построим систему {dx1/dt = a1(x-, u)…dxn/dt = an(x-, u), du/dt = b(x-, u)}. Решения (x1(t),…,xn(t), u(t)) системы определяют фазовые кривые в пр-ве R^(n+1), которые называются характеристиками ур-ями в частных производных. Т Пусть v(x-, u) – не содержащий t первый интеграл системы в области D, и в некоторой точке N0 Є D выполнены условия v(N0) = C0, dv(N0)/du ≠ 0. Тогда в некоторой окрестности точки N0 уравнение u(x1,…,xn, u) = C0 определяет неявную функцию u = u(x1,…,xn), являющуюся решением квазилинейного ур-я. Док-во: Пусть v(x-, u) – не содержащий t первый интеграл системы. По лемме о св-ве первого интеграла его производная равна 0 в области D. В силу т о неявной функции существует окрестность точки N0(x10,…,xn0) в которой определена непрерывно диф-мая функция u = u(x1,…,xn) обращающая v(x1,…,xn, u(x1,…,xn)) = C0 в тождество. По формуле диф-я неявной функции получаем dv/dxj = -dv/du du/dxj, j = 1,…,n. После подстановки в лемму о первом интеграле и деления на dv/du ≠ 0 приходим к Add<j=1, n>aj(x-, u(x-))du/dxj = b(x-, u(x-)) В рассматриваемой окрестности N0. Те u(x) – решение квазилинейного ур-я в частных производных.