Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.

Функция y = ξ(t) называется особым решением дифф ур-я F(t, y(t), y’(t)) = 0 на отрезке [t1, t2], если y = ξ(t) является решением ур-я на этом отрезке и через каждую точку соответствующей интегральной кривой Г = {(t, y): y = ξ(t), t Є [t1, t2]} проходит другое решение этого ур-я с тем же самым наклоном касательной, но отличающееся от данного решения в сколь угодно малой окрестности точки. Те в каждой точке этой кривой нарушается условие единственности решения задачи Коши. Особое решение может содержатся среди тех кривых на которых не выполнено существование dF/dy. Пусть производные существуют и непрерывны. Если существует ξ(t), то во всех точках его интегральной кривой F(t, ξ(t), ξ’(t)) = 0, dF/dp(t, ξ(t), ξ’(t)) = 0. Тройка (t, ξ(t), ξ’(t)) при каждом t является решением системы {F(t, y, p) = 0; dF/dp(t, y, p) = 0}. Часто можно исключить p и получить H(t, y) = 0. Возможны случаи: 1) H(t, y) = 0 – задает особое решение 2) H(t, y) = 0 – решение, но не особое 3) H(t, y) = 0 – не решение.

Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.

Пусть fi(t, y1,…,yn), i=1,2…,n определены и непрерывны для t Є [a, b], y1,…,yn Є R^n. Требуется определить y1(t),…,yn(t) являющиеся решениями нормальной системы {y1’(t) = f1(…),…,yn’(t)=fn(…)} удовлетворяющие условиям y1(t0) = y01,…, yn(t0) = y0n, где t0 – фиксированная точка [a, b], а y01,…,y0n – заданные вещ числа. Функции называются решением задачи Коши на [a, b], если 1) yi(t) Є C1[a, b] 2) yi’(t) = fi(t, y1(t)…,yn(t)), t Є [a, b] 3) yi(t0) = y0i. Функция удовлетворяет условию Липшица по y1,…,yn если существует константа L > 0: |f(t, y1,…,yn) – f(t, y1~,…yn~)| <= L(|y1 – y1~|…|yn-yn~|), для любого t Є [a, b], для любых (y1,…,yn), (y1~,…,yn~) Є R^n. Т Пусть fk(t, y1,…,yn), k =1,…,n определены и непрерывны при t Є [a, b], (y1,…,yn) Є R^n и удовлетворяют условию Липшеца с одной и той же константой L. Тогда, если функции y1(t),…,yn(t) и y1~(t),…,yn~(t) являются решениями задачи Коши на [a, b], то yi(t) = yi~(t) для t Є [a, b], i=1,2,…n. Док-во: пишем yi’(t) = fi(t, y1(t),y2(t),…yn(t)), yi(t0) = y0i интегриуем диффур от t0 до t, пишем аналогично для yi~(t), записываем их разность |yi(t) – yi~(t)|= |$<t0, t>fi(u,y1(u)…,yn(u))du – fi(u, y1~(u),…yn~(u))du| оцениваем по Липшецу, получаем и вводим z(t) = |y1(t) – y1~(t)| +…+|yn(t)-yn~(t)| тогда |yi(t)-yi~(t)| <= L|$<t0,t>z(u)du|, складывая неравенства и получаем z(t) <= nL|$<t0, t>z(u)du|, t Є [a, b] по лемме Гронуолла-Беллмана получаем z(t) = 0, те ЧТД.

Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.

Пусть функции fk(t, y1,…, yn), k=1,2…n, определены и непрерывны при t Є [a, b], (y1,…,yn) Є R^n и удовлетворяют условию Липшица с одной и той же константой L. Тогда существуют функции y1(t),…,yn(t) являющиеся решением задачи Коши на всем [a, b]. Док-во: Рассмотрим систему интегральных уравнений относительно yi(t): yi(t) = y0i + $<t0, t>fi(u, y1(u),…,yn(u))du, i=1,…n. (4) Покажем, что если y1-(t),…,yn-(t) непрерывны на [a, b] и удовлетворяют системе (4), то они – решение задачи Коши. Элементарная проверка. Те достаточно показать, что существуют yi-(t) Є C[a, b] и удовлетворяющие (4). Рассмотрим последовательности yi<k+1> = y0i + $<t0, t>fi(u, y1<k>(u),…,yn<k>(u))du, yi<0> = y0i. Предположим, что все они определены и непрерывны на [a, b]. Элементарно по индукции из непрерывности fi(…). Обозначим B = max<i=1,…,n>max<tЄ[a, b]>|$<t0, t>fi(u, y01, y02,…,y0n)du|. Покажем, что для всех i, k справедливо |yi<k+1>(t) – yi<k>(t)| <= B(nL)^k|t-t0|^k/k!. При k= 0 – верно. Для индукции используем Липшеца: |yi<m+1> - yi<m>| <= |$<t0, t>L(|y1<m>(u) – y1<m-1>(u)| + … + |yn<m>(u) – yn<m-1>(u))|du|. По предположению индукции |yi<m+1>(t) – yi<m>(t)| <= |$<t0, t>B(nL)^m|u – t0|^(m-1)du/(m-1)!| <= B(nL)^m|t-t0|^m/m! Доказано. Рассматриваем функциональные ряды yi<0>(t) + Add<m=0, inf>(yi<m+1>(t) – yi<m>(t)). Используем признак Вейерштрасса. Те последовательность сходится. Переходим к переделам в определении равенств yi<k + 1>=… ЧТД.