- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
Рассмотрим краевую задачу Ly = d/dx(p(x)dy/dx) – q(x)y = f(x), 0 <= x <= l, g1y’(0) + j1y(0) = 0, g2y’(l) + j2y(l) = 0, где p(x), q(x), f(x) – известные функции, а g1, j1, g2, j2 – известные постоянные такие, что p(x) Є C1[0, l], p(x) > 0, x Є [0, l], q(x), f(x) Є C[0, l], gi^2 + bi^2 > 0, i=1, 2. (14) Функция называется решением краевой задачи (14), если y(x) Є C2[0, l] и удовлетворяет (14). Функция G(x, ξ) называется функцией Грина краевой задачи (14), если она определена в квадрате [0, l]x[0, l] и удовлетворяет следующим условиям: 1) Для любого ξ Є (0, l) функция G(x, ξ) дважды непрерывно диф-ма по x на мн-ве [0, ξ) U (ξ, l] и удовлетворяет однородному ур-ю d/dx(p(x)dG(x, ξ)/dx) – q(x)G(x, ξ) = 0, 0 <= x <= l, x ≠ ξ. 2) Функция G(x, ξ) удовлетворяет однородным краевым условиям по переменной x: g1G’x(0, ξ) + j1G(0, ξ) = 0, g2G’x(l,ξ) + j2G(l, ξ) = 0 для любого ξ Є (0, l). 3) Функция G(x, ξ) непрерывна в квадрате [0, l] x [0, l], а частная производная G’x(x, ξ) при x = ξ имеет конечные предельные значения G’x(ξ + 0, ξ) = lim <xξ + 0>, G’x(ξ – 0, ξ) = lim<xξ-0>G’x(x, ξ), связанные соотношением G’x(ξ + 0, ξ) – G’x(ξ – 0, ξ) = 1/p(ξ), для любого ξ Є [0, 1]. Т Если однородная краевая задача Lv = 0, g1v’(0) + j1v(0) = 0, g2v’(l) + j2v(l) = 0 имеет только нулевое решение, то функция Грина краевой задачи (14) существует и единственна. Док-во: определим y1(x) как решение задачи Коши Ly1 = 0, 0 <= x <= l, y1(0) = -g1, y’1(0) = j1, а y2(x) аналогично в точке l. Очевидно, что они обе удовлетворяют своим краевым условиям. Функции y1(x) и y2(x) линейно независимы, так как иначе задача Коши имела бы ненулевое решение. Будем искать функцию Грина в виде G(x, ξ) = {c1(ξ)y1(x), 0 <= x <= ξ; c2(ξ)y2(x), ξ <= x <= l}, где c1, c2 – неизвестные функции. G(x, ξ) удовлетворяет условиям 1) и 2) из определения функции Грина. Выберем c1(ξ), c2(ξ) так, чтобы выполнялось 3). Из непрерывности в точке x = ξ: c1(ξ)y1(ξ) = c2(ξ)y2(ξ). Из условия разрыва производной имеем c2(ξ)y2’(ξ) – c1(ξ)y1’(ξ) = 1/p(ξ). Таким образом получили систему. Решив получим, что c1(ξ) = y2(ξ)/[W(ξ)p(ξ)], c2(ξ) = y1(ξ)/…, где W(ξ) = W[y1, y2](ξ). W(ξ)p(ξ) = g0 – известная постоянная. В результате получаем окончательную формулу для функции Грина. G(x, ξ) = {y1(x)y2ξ/g0, 0 <= x <= ξ; y1(ξ)y2(x)/g0, ξ <= x <= l}. Докажем единственность. Пусть есть две: G(x, y) и G^(x, y). Пусть ξ – произвольная точка из (0, l). Рассмотрим z(x) = G(x, ξ) – G^(x, ξ). Эта функция непрерывна на [0, l] и имеет на нем непрерывную производную z’(x), поскольку G’x(x, ξ) и G^’(x, ξ) имеют в точке x = ξ один и тот же разрыв. Записывая из уравнения Lz =0, x ≠ ξ выражение z’’(x) = [q(x)z(z) – p’(x)z’(x)]/p(x) убеждаемся в непрерывности второй производной при x = ξ. Тогда функция z(x) – решение Lz = 0 и при x = ξ, Lz = 0, 0 <= x <= l и удовлетворяет краевым условиям. По условию теоремы система имеет только тривиальное решение – противоречие.