- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
Рассмотрим ОДУ n-ого порядка, разрешенное относительно производной: y(n)t = F(t, y(t), y’(t),…,y(n-1)(t)), t Є [a, b] (5), где F(t, y1,…,yn) – задана, а y(t) – неизвестная искомая функция. Для неё заданы начальные условия y(t0) = y00, y’(t0) = y01,…y(n-1)(t0) = y0n-1, (6) to – фиксированная точка из [a, b], а y00,…,y0n-1 - заданные числа. Задачей Коши для ОДУ n-ого порядка, разрешенного относительно старшей производной, называется задача отыскания y(t), удовлетворяющей (5) и (6). Т Пусть F(t, y1,…,yn) определена и непрерывна при t Є [a, b], (y1,…,yn) Є R^n и удовлетворяющей условию Липшица с константой L1 > 0, те |F(t, y1,…,yn) – F(t, y1~,…yn~)| <= L1Add<i=1, n>|yi-yi~|, для любого t Є [a, b], любых (y1,…,yn) (y1~,…,yn~) Є R^n. Тогда существует единственная функция y(t), являющаяся решением задачи Коши на [a, b]. Док-во: Единственность: введем y1(t) = y(t),…, yn(t) = y(n-1)(t) строим систему, с начальными условиями, являющуюся частным случаем нормальной, с fi непрерывными и удовлетворяющими условию Липшеца с одной и той же константой L = max{1, L1}. Те получаем удовлетворение условию единственности для нормальной системы (Б9). Условия из Б10 тоже выполнены. Те ЧТД.
Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
Рассмотрим на [a,b] систему линейных ОДУ n-ого порядка {y1’(t) = a11(t)y1(t) +…+a1n(t)yn(t) + f1^(t),…,yn’(t) = an1(t)y1(t) +…+ ann(t)yn(t) + fn^(t)}, где aij(t), fi^(t) – заданные непрерывные на отрезке функции. Пусть задано начальное условие yi(t0) = y0i, i=1,…,n. Т Пусть функции aij(t), fi^(t) непрерывны на отрезке [a, b], i,j = 1,…,n. Тогда существует единственный набор функций y1(t),…,yn(t), являющийся решением задачи Коши на [a, b]. Док-во: заданная система – частный случай нормальной системы, где fi удовлетворяют условию липлица с L = max<1<=i, j<=n>max<t Є [a,b]|aij(t)|. Те выполнены из Б9 и Б10. Пусть задано линейное ОДУ n-ого порядка a0(t)y(n)(t) + a1(t)y(n-1)(t)+…+an(t)y(t) = f(t), где ai(t) – заданные непрерывные функции на [a, b], причем a0(t) ≠ 0 на [a, b]. Рассмотрим начальные условия в t0: y(i)(t0) = y0i, i=0,…,n-1. Т Пусть функции ai(t), f(t) – непрерывны на [a, b], i=1,…,n, a0(t) ≠ 0 на [a, b]. Тогда существует единственная функция y(t), являющаяся решением задачи Коши на [a, b]. Док-во: ур-е – частный случай Б11 с F(t, y1,y2,…,yn) = f(t)/a0(t) – an(t)y1/a0(t) - … - a1(t)yn/a0(t). Эта функция определена и непрерывна при t Є [a,b], (y1,…,yn) Є R^n и удовлетворяет условию Липшеца с постоянной L1 = max<1<=i<=n>max<t Є [a, b]>|ai(t)/a0(t)|. Те ЧТД.
Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
Рассмотрим ЛДУ n-ого порядка: a0(t)y(n)(t) + a1(t)y(n-1)(t)+…+an(t)y(t) = f(t) с непрерывными на [a, b] действительными коэффициентами ak(t), k =0,…,n, a0(t) ≠ 0, t Є [a, b] и f(t) Є C[a, b]. Линейным дифференциальным оператором n-ого порядка называется оператор Ly = a0(t)y(n)(t) +…+an(t)y(t). Оператор L определен для всех n раз диф на [a, b] функций y(t), причем Ly(t) Є C[a, b]. Те уравнение можно переписать как Ly = f(t), t Є [a, b]. Если f(t) – тождественный 0 на [a, b], то ур-е однородное, иначе неоднородное. Т Если функции yk(t), k = 1,…,m – решения Lyk = fk(t), то y(t) = Add<k=1, m>ckyk(t), где ck Є C – постоянные, является решением Ly = f(t), f(t) = Add<k=1, m>ckfk(t). Док-во: из линейности оператора, которая является следствием линейности оператора диф-ния. Ly = LAdd<k=1,m>ckyk(t) = Add<k=1, m>ckLyk(t) = …ЧТД. Следствие: линейная комбинация решений однородного ур-я – решение этого же однородного ур-я. Разность двух решений неоднородного ур-я с одниаковой правой частью – решение однородного. Т решение задачи Коши: Ly = f(t), y(t0) = y00, y’(t0) = y01,…., y(n-1)(t0) = y0n-1 представимо в виде суммы y(t) = v(t) + w(t), где функция v(t) является решением задачи Коши для неоднородного ур-я с 0ми начальными условиями: Lv = f(t), v(t0) = 0,…,v(n-1)(t0) = 0, а функция w(t) является решением задачи Коши для однородного ур-я для однородного ур-я с ненулевыми начальными условиями: Lw = 0, w(t0) = y00,…,w(n-1)(t0)=y0n-1. Док-во: просто проверить по предыдущей теореме их сумму. Т Решение задачи Коши для однородного ур-я представимо в виде суммы y(t) = Add<m=0, n-1>ym(t)y0m, где ym(t) – решения задач Коши: Lym = 0, ym(m)(t0) = 1, ym(k)(t0) = 0, для всех k Є {0,…,n-1}\{m}. Док-во очевидно.