Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.

Рассмотрим ЛНДУ с непрерывными на [a, b] действительными коэффициентами aj(t), j=0,…,n, a0(t) ≠ 0, t Є [a, b] и непрерывной на [a, b] правой частью f(t): a0(t)y(n)(t) +…+an(t)y(t) = f(t). Общим решением ЛНДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, что любое другое решение этого ур-я может быть получено в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Пусть y1(t)…yn(t) – ФСР ЛОДУ на [a, b], yH(t) – некоторое (частное) решение ЛНДУ. Тогда общее решение ЛНДУ на рассматриваемо отрезке имеет вид yOH(t) = yH(t) + yoo(t) = yH(t) + c1y1(t)+…+cnyn(t), где c1,…,cn – произвольные комплексные постоянные. Док-во: для любого набора c1,…,cn – это решение в силу линейности. Согласно определению общего решения надо показать, что любое решение можно получить подстановкой констант. ТЕ y~(t) – решение, тогда есть с~1,….,c~n для которых y~(t) = yH(t) + c~1y1(t) +…+c~nyn(t). Рассмотреть разность y~(t) – yH(t), она решение однородного. Б16 ЧТД. Метод вариации постоянных. Надо найти частное решение. Ищем в виде yH(t) = c1(t)y1(t)+…+cn(t)yn(t). Где y1(t),…,yn(t) – решение однородного ур-я, а c1(t),…,cn(t) – произвольные непрерывно дифференцируемые на [a, b] функции. Пусть производные c’k(t) определяются из системы c1’(t)y1(t)+…+cn’(t)yn(t)=0,…,c1’(t)y1(n-1)(t)+…+cn’(t)yn(n-1)(t) = f(t)/a0(t) (во всех промежуточных правая часть равна 0). Так как yk(t) – ФСР, то определитель системы отличен от 0 в каждой точке и система имеет единственное решение ck’(t) = gk(t), k=1,…n Интегрируя, найдем функции ck = $<t0, t>gk(u)du. Производные частного решения принимают вид yH’(t) = c1(t)y1’(t)+…+cn(t)yn’(t),…,yH(n-1)(t) = c1(t)y1(n-1)(t) +…+cn(t)yn(n-1)(t), yH(n)(t) = c1(t)y1(n)(t)+…+cnyn(n)(t) + Add<k=1, n>ck’(t)yk(n-1)(t) = =c1(t)y1(n)(t)+…+cn(t)yn(n)(t) + f(t)/a0(t). Тогда очевидным образом видно, что LyH = f(t) + Add<k=1, n>ck(t)Lyk(t) = f(t). Те yH = c1(t)y1(t) +…+cn(t)yn(t) = Add<k=1, n>yk(t)$<t0, t>gk(u)du – решение ЛНДУ.

Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим ЛОДУ n-ого порядка с вещ постоянными коэффициентами aj Є R, j = 0,…,n, a0 ≠ 0. a0y(n)(t)+…+any(t) = 0. Это ур-е можно записать в виде Ly = 0, где Ly = a0y(n)(t) +…+an-1y’(t) + any(t). Сопоставим L многочлен M(l) = a0l^n + a1l^(n-1)+…+an, который называется характеристическим, а M(l) = 0 – характеристическое уравнение. Очевидно. что функция exp{l0t) – решение Ly(t) = 0 тогда и только тогда, когда l0 – корень M(l) = 0. Обозначим l1,…,lt – попарно различные корни хар многочлена, M(lj)=0, а через k1,…,kt – кратности этих корней. Те M(l) = a0(l-l1)^k1…(l-lt)^kt. Лемма: для любой n раз непрерывно диф-мой функции g(t) и произвольного l Є C справедливо: L(exp{lt}g(t)) = exp{lt}Add<m=0, n>M(m)g(m)(t)/m!. Док-во: По формуле Лейбница: d^p/dt^p(exp{lt}g(t)) = Add<m=0, p>Cnp(d^(p-m)exp{lt}/dt^(p-m))(d^mg(t)/dt^m) = exp{lt}Add<m=0, p>p(p-1)…(p-(m-1))l^(pim)g(m)(t)/m! = exp{lt}Add<m=0, p>[d^m/dl^m]l^pg(m)(t)/m!. Те L(exp{lt}g(t)) = Add<n=0, n>a<n-p>[d^p/dt^p](exp{lt}g(t)) = exp{lt}Add<p=0, n>a<n-p>Add<m=0, p>[d^m/dl^m](l^p)g(m)(t)/m! = exp{lt}Add<p=0, n>a<n-p>Add<m=0, n>[d^m/dl^m](l^p)g(m)(t)/m! (добавленные элементы при последнем переходе – 0ые). Меня порядок суммирования получаем L(exp{lt}g(t)) = exp{lt}Add<m=0, n>g(m)(t)/m = exp{lt}Add<m=0, n>g(m)(t)M(m)(l)/m! ЧТД. Лемма: для каждого коня lj хар ур-я кратности kj функции exp{ljt} texp{ljt},…,t^(kj-1)exp{ljt} – решения ЛОДУ. Док-во: раз lj корень, то M(l) = (l-lj)^kR(l). Имеют места равенства M(m)(lj) = 0, m=0,…,kj-1. Поэтому из предыдущей леммы для g(t) = t^p, p=0,1...kj-1 имеем L(exp{ljt}t^p) = exp{ljt}Add<m=0, n>(t^p)(m)M(m)(lj)/m! = exp{ljt}Add<m=kj, n>(t^p)(m)M(M)(lj)/m! = 0 (p < kj). Те ЧТД. Мы показали, что функции exp{ljt}, texp{ljt},…, t^(kj – 1)exp{ljt}, j=1,…,r (9) являются решениями ОДУ. Кол-во этих функций совпадает с порядком ур-я. Т Система функций (9) – ФСР ЛОУ с постоянными коэффициентами на любом [a, b]. Док-во: для док-ва достаточно показать, что система функций (9) – линейно независимая на любом отрезке. Предположим противное и перепишем в виде P1(t)exp{l1,t} + P2(t)exp{l2t}+…+Pr(t)exp{lrt} = 0, где sj = degPj(t) <= kj -1, j = 1,…,r. Без ограничения общности можно считать, что многочлен pl(t) нетривиален. После умножение последнего тождества на exp{-l1t} получаем P1(t) + P2(t)exp{(l2-l1)t} +…+Pr(t)exp{(lr-l1)t} = 0 Дифференцируем s1 + 1 раз. d^(s1+1)P1(t)/dt^(s1+1) = 0. Для преобразования остальных заметим, что (Pj(t)exp{mt})’ = (mPj(t) + Pj(t)’)exp(mt), m = lj – l1 ≠ 0. Те многочлен не поменяет степень. Получаем многочлен, аналогичный изначальному, но без первого слагаемого. На последнем получаем Sl(t)exp{(lr –l<r-1>)t} = 0, degSr(t) = sr, Sr(t) = (lr – l<r-1>)^(sr-1 + 1)…(lr – l1)^(s1 +1)prt^(sr) +… Полученное равенство противоречит условию нетривиальности ЧТД.