Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

Пусть C0n[x0, x1] – мн-во функций непрерывно-диф-мых на [x0, x1] функций. Пусть C0n[x0, x1] – мн-во функций y(x) Є Cn[x0, x1] таких, что y(m)(x0) = y(m)(x1) = 0, m = 0,…n-1. Основная Лемма: Пусть f(x) Є C[x0, x1] такая, что $<x0, x1>f(x)y(x)dx = 0 для любой y(x) Є C0n[x0, x1]. Тогда f(x) = 0 на [x0, x1]. Док-во: пусть противное. Тогда есть x2 Є (x0, x1) такая, что f(x2) ≠ 0. Для определенности пусть f(x2) > 0. Раз непрерывна – значит eps > 0 f(x) >= f(x2)/2 > 0, для любого x Є [x2 – eps; x2 + eps] Є (x0, x1). Рассмотрим y2(x) = {(x – (x2 – eps))^(n+1)((x2 + eps) – x)^(n+1) x Є [x2 – eps, x2 + eps]; 0 …}. Функция y2(x) Є C0n[x0, x1] и y2(x) > 0 при x Є (x2 – eps, x2 + eps). Те $<x0, x1>f(x)y2(x)dx = $<x2-eps, x2+eps>f(x)y2(x)dx > 0, противоречие ЧТД. Рассмотрим мн-во непрерывно диф-мых на [x0, x1] функций y(x) таких, что y(x0) = y0, y(x1) = y1. Определим функционал H[y(x)] = $<x0, x1>F(x, y(x), y’(x))dx, F(x, y, p) – заданная функция трех переменных. Т Предположим, что при x Є [x0, x1], (y, p) Є R^2 у функции F(x, y, p) существуют непрерывные вторые частные производные. Если функционал H[y(x)] достигает локального экстремума на функции y0(x) Є M, имеющей непрерывную вторую производную на [x0, x1], то функция y0(x) является решением ДУ F’y(x, y(x),y’(x)) – d/dxFp(x, y(x), y’(x)) = 0, x0 <= x <= x1. Док-во: найдем варицию функционала. Из определения M следует, что допустимой δy(x) функции y0(x) является любая функция из C1[x0, x1]. Получаем δH[y0(x), δy(x)] = d/dtH[y0(x) + tδy(x)]|t = 0 = d/dt$<x0, x1>F(x, y0(x) + tδy(x), y0’(x) + t(δy)’(x))dx|t=0 = $<x0, x1>{F’y(x, y0(x), y0’(x))δy(x) + F’p(x, y0(x), y0’(x))(δy)’(x)}dx. Из теоремы о необходимом условии экстремума вариация функционала на y0(x) должна равняться 0, те (разбить интеграл на 2 и приравнять 0). Интегрируем второй по частям, учитывая, что δy(x0) = δy(x1) = 0, получаем $<x0, x1>{F’y(x, y0(x), y0’(x)) – d/dxF’p(x, y0(x), y0’(x))}δy(x)dx = 0. Применим основную лемму получим F’y(x, y0(x), y0’(x)) – d/dxF’p(x, y0(x), y0’(x)) = 0, x0 <= x <= x1. Те ЧТД. Уравнение F’y(x, y(x), y’(x)) – d/dxF’p(x, y(x), y’(x)) = 0 - уравнение Эйлера.

Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.

Рассмотрим мн-во M функций y(x) Є Cn[x0, x1] таких, что y(x0) = y00,…y(n-1)(x0) = y0<n-1>, y(x1) = y10,…,y(n-1)(x1) = y1<n-1>. Определим функционал H[y(x)] = $<x0, x1>F(x, y(x),…,y(n)(x))dx, где функция F(x, y, p1,…,pn) определена и непрерывна при x Є [x0, x1], (y, p1,…,pn) Є R^(n+1). Т Пусть F(x, y, p1,…,pn) имеет при x Є [x0, x1], (y,p1,…,pn) Є R^(n+1) непрерывные частные производные порядка 2n. Если функция y-(x) Є M, y-(x) Є C2n[x0, x1], и на ней достигается экстремум функционала H[y(x)] на мн-ве M, то y-(x) является решением F’y – d/dxFp1 +…+(-1)^nd^n/dx^nFpn = 0, x0 <= x <= x1, где F = F(x, y(x),…,y(n)(x)). Док-во: в силу необходимого условия экстремума вариация функционала должна обращаться в 0 для любой допустимой δy(x) Є C0n[x0, x1]. Имеем: δH[y-(x), δy(x)] = d/dtH[y-(x), δy(x)] = d/dtH[y-(x) + tδy(x)]|t=0 = d/dt$<x0, x1>F(x, y-(x) + tδy(x), y-‘(x) + t(δy)’(x),…,y(n)-(x) + t(δy)(n)(x))dx|t = 0. Дифференцируя по параметру t, полагая затем t = 0 и приравнивая вариацию к нулю, получим $<x0, x1>(F’yδy(x) + F’p1(δy)’(x) +…+F’pn(δy)(n)(x))dx = 0. Интегрируя по частям, учитывая то, что функция δy(x) и её производные обращаются в 0 на концах отрезка, имеем $<x0, x1>(F’y – d/dxF’p1+…+(-1)^nd^n/dx^nF’pn)δy(x)dx = 0. Так как равенство выполнено для любой функции δy(x) Є C0n[x0, x1], то, применяя основную лемму, получим, что y-(x) является решением ДУ из условия. ЧТД.