Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.

Рассматриваются произвольные скалярные функции h1(t),…,hm(t), определенные на [a, b] и принимающие комплексные значения. Скалярные функции h1(t),…,hm(t) называются линейно зависимыми на [a, b], если найдутся такие комплексные константы ck Є C, k=1,…,m, Add<k=1, m>|ck| > 0, что справедливо: Add<k=1, m>ckhk(t) = 0, для любого t Є [a, b]. Если равенство выполнено только для тривиального набора ci = 0 для i=1,…,m, то скалярные функции h1(t)….hm(t) называются линейно независимыми на [a, b]. Замечание: если функции действительнозначные, то достаточно рассматривать вещественные коэффициенты. Замечание: линейная зависимость/независимость в общем случае зависит от отрезка. Определителем Вронского системы функций h1(t),…,hm(t) состоящей из (m-1) раз непрерывно диф-мых на [a, b] функций называется зависящий от t Є [a, b] определитель W[h1,…,hm](t) = det A, Aij = hj(i)(t). Т Если система (m-1) раз непрерывно диф-мых на [a, b] скалярных функций h1(t),…,hm(t) является линейно зависимой на [a, b], то определитель Вронского этой системы тождественно равен 0 на [a, b]. Док-во: Так как функции hk(t) линейно зависимы на [a, b], то существует набор коэффициентов, для которых … В этом равенстве можно почленно дифференцировать до (m-1) порядка включительно: cih1(k)(t) +…+cmhm(k)(t) = 0, k=0,…,m-1, t Є [a, b]. Те вектор-столбцы в определителе Вронского линейно зависимы для всех t. Те ЧТД. Следствие: если для системы (m-1) раз диф-мых на [a, b] скалярных функций определитель Вронского от 0 в некоторой точке t0 Є [a, b], W[h1,…,hm](t0) ≠ 0, то эта система линейно независима на [a, b]. Из равенства 0 определителя не следует линейная зависимость: h1(t)=t^3, h2(t) = t^2|t|, на [-1, 1] W[h1, h2](t) = det(t^3, t^2|t|, 3t^2, 3t|t|) = 0, но они на нем независимы, тк положим t = d = min{1, 1} = 1 и t = -d = -1 в равенстве c1h1(t) + c2h2(t) = 0 получим систему {c1d^3 + c2d^3 = 0; c1d^3 – c2d^3 = 0}  c1 = c2 =0, а значит h1(t)= t^3 и h2(t) = t^2|t| линейно независимы на [-1, 1].

Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.

Рассмотрим однородное ЛДУ порядка n на [a, b] с непрерывными на отрезке действительными коэффициентами aj(t), j=0,…,n, a0(t) ≠ 0 на [a, b]: a0(t)y(n)(t) +…+an(t)y(t)=0 (8). Рассмотрим систему скалярных функций y1(t)…yn(t), являющихся решением (8). Кол-во функций совпадает с порядком уравнения. Т Для решений y1(t),…,yn(t) линейного однородного ур-я (8) на [a, b] справедливо: либо W[y1…yn](t) = 0 на [a, b] и функции линейно зависимы, либо W[y1,…,yn](t) ≠ 0 для любого t Є [a, b] и функции y1(t),…,yn(t) линейно независимы на [a, b]. Док-во: пусть t0: W[y1,…,yn](t0) = 0. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно c1,…,cn. {c1y1(t0)+…+cnyn(t0)=0,…,c1y(n-1)(t0) +…+cnyn(n-1) = 0}. Так как определитель равен определителю Вронского и равен 0, то система имеет нетривиальное решение c~1,…,c~n. Рассмотрим y~(t) = Add<k=1, n>c~kyk(t). Эта функция как линейная комбинация – тоже решение. Из системы она удовлетворяет y~(m)(t0) = 0, m=0,…,n-1. Те она решение (8) и удовлетворяет 0м начальным условиям. По Т единственности решения задачи Коши она равна 0 (тождественный 0 удовлетворяет). Те функции линейно зависимы. Если одна точка отлична от 0 то по Б14 функции линейно независимы.

Билет 16. Фундаментальная система решений (ФСР) для линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Фундаментальной системой решений ЛОДУ n-ого порядка на [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого ур-я. Т у любого ЛОДУ существует ФСР на [a, b]. Док-во: Рассмотрим постоянную матрицу B Є [n, n] такую, что её определитель отличен от 0. Построим n задач Коши yj(t0) = b1j,…,yj(n-1)=bnj, j=1,…,n. Определить Вронского для решений этих задач в t0 равен detB ≠ 0. По Б15 не равен ни в одной точке, значит функции линейно независимы и являются ФСР. ЧТД. Замечание: ФСР определена не однозначно. Замечание: в силу вещественности aj ФСР может быть выбрана вещественной. Общим решением ЛОДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого ур-я такое, что любое другое решение ур-я может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Пусть y1(t)…yn(t) – ФСР на [a, b]. Тогда общее решение этого ур-я на рассматриваемом отрезке имеет вид yoo(t) = c1y1(t) + …+cnyn(t), cj Є C. Док-во: Так как линейная комбинация решений однородного решения – решение этого ур-я, то yoo – решение этого ур-я. Покажем, что любое решение может быть получено из yoo. Пусть y~(t) – решение. Рассмотрим систему: {c1y1(t0) + …. + cnyn(t0) = y~(t0),…,c1y1(n-1)(t0)+…+cnyn(n-1)(t0) = y~(n-1)(t0)} относительно c1,…,cn. Определитель отличен от 0, значит есть единственное решение. Те получили константы. ЧТД. Следствие: ЛОДУ n-ого порядка не может иметь более чем n линейно независимых решений.