- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
Мы можем доказать теорему о существовании не на всем отрезке, а на меньшем, поэтому теорема называется локальной Т существования решения задачи Коши. Пусть функция f(t, y) непрерывна в П, удовлетворяет условию Липшица по y и |f(t, y)| < M, (t, y) Є П. Тогда на отрезке [t0 – h, t0 + h], где h = min {T, A/M} существует функция y(t) такая, что y(t) Є C1[t0-h, t0 + h], |y(t) – y0| <= A, t Є [t0 – h, t0 + h], t Є [t0 – h, t0 + h], y’(t) = f(t, y(t)), t Є [t0-h, t0 + h], y’(t) = f(t, y(t)), t Є [t0 – h, t0 + h], y(t0) = y0. Док-во: из ЛБ4 следует, что для док-ва теоремы достаточно доказать сущ функции y(t) Є C[t0 – h, t0 + h] такой, что |y(t) – y0| <= A, t Є [t0-h, t0 + h], и являющейся решением интегрального ур-я. Док-во через метод последовательных приближений. Рассмотрим yk(t), k =0, 1,2…, y0(t) = y0, yk+1(t) = y0 + $<t0, t>f(u, yk(u))du, t Є [t0-h, t0 + h], k = 0, 1, 2… Покажем по индукции, что для всех верно yk(t) Є C[t0-h, t0 + h], |yk(t) – y0| <= A, t Є [t0-h, t0 + h]. Для k = 0 верно. Пусть верно для m. Докажем для m+1. Так как |ym(t) –y0| <= A, t…, то f(t, ym(t)) определена и непрерывна на… Те интеграл определен и непрерывен, те ym+1(t) Є C[t0-h, t0+h]. Оценим |ym+1(t) – y0| = |$<t0, t>f(u, ym(u))du| <= |$<t0, t>Mdu| <= Mh <= A. Получили. По методу индукции докажем для t Є [t0-h, t0 + h] справедливо |yk+1(t) – yk(t)| <= A(L^k)|t-t0|^k/k!, k = 0, 1… Для k = 0 имеем |y1(t) – y0(t)| <= Mh <= A, те верно. Пусть верно при k = m-1. |ym+1(t) – ym(t)| <= |$<t0, t>|f(u, ym(u)) – f(u, ym-1(u))|du| <= {используем Липшеца и предположение индукции} <= L|$<t0, t>|ym(u)-ym-1(u)|du| <= L|$<t0, t>AL^(m-1)|u-t0|^(m-1)du/(m-1)!| = AL^m|t-t0|^m/m!, t Є [t0-h, t0 + h]. Представим yk(t) = y0 + Add<n=1, k>(yn(t)-yn-1(t)), n=1, 2… Равномерная сходимость этой последовательности эквивалентна сходимости ряда Add<n=1, inf>(yn(t)-yn-1(t)) (все на отрезке). Применим признак Вейерштрасса, используя полученную ранее оценку |yn(t) – yn-1(t)| <= AL^(n-1)h^(n-1)/(n-1)! = cn, сходящийся по признаку Даламбера. Те наша последовательность равномерно сходится к некоторой функции y(t). Так как все функции yk(t) Є C[t0-h, t0 + h], то y(t) тоже непрерывна на этом отрезке. Покажем, что |y(t) – y0| <= A, переходя к пределу в неравенствах. Покажем, что является решением интегрального уравнения. В силу равномерной сходимости на отрезке [t0 – h, t0 + h] для произвольного д найдется k0(д) такой, что при k >= k0(д) справедливо |yk(t) – y(t)| < д для всех t Є [t0-h, t0 + h]. Тогда для любого eps > 0 выбираем д(eps) = eps/(Lh) и k0. Тогда |f(u, yk(u)) – f(u, y(u))| = L|yk(u) – y(u)| < eps/h, u Є [t0- h, t0 + h]. Тогда |$<t0, t>f(u, yk(u))du - $<t0, t>f(u, y(u))du| = e/h|t-t0| <= eps. Они позволяют перейти к пределу в исходных выражениях для yk. ЧТД.
Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Рассмотрим F(t, y(t), y’(t)) = 0 (3) – обыкновенное ур-е первого порядка не разрешенное относительно производной. F(t, y, p) определена в D = {(t, y, p): |t – t0| <= a, |y – y0| <= b, |p – y’0| <= c}, a, b, c – фиксированные положительные числа. Функция y(t) называется решением ур-я (3) на отрезке [t1, t2], если: y(t) Є C1[t1, t2]; (t, y(t), y’(t)) Є D для всех t Є [t1, t2], (3) верно на [t1, t2]. Для однозначного определения интегральной кривой необходимо задать точку y(t0) = y0. Но не достаточно, надо определить ещё y’(t0) = y’0. Те задача Коши имеет вид: F(t, y(t), y’(t)) = 0, y(t0) = y0, y’(t0) = y’0. Т Пусть функция F(t, y0, y0’) определена в D и верно 1) F(t0, y0, y0’) = 0; 2) F(t,y, p), dF(t, y, p)/dy, dF(t, y, p)/dp непрерывны в D; 3) dF(t0, y0, y0’)dp ≠ 0. Тогда найдется h >0 такое, что на отрезке [t0 – h, t0 + h] существует единственное решение задачи Коши. Док-во: сущетсвует окрестность Q точки (t0, y0, y’0) в которой для ур-я F(t, y, p) = 0 (по т о неявной функции) существует p = f(t, y), имеющую непрерывную частную производную по y, df(t, y)/dy = - [dF(t, y, f(t, y))/dy]/ [dF(t, y, f(t, y))/dp], являющуюся решением этого ур-я. В частности y’0 = f(t0, y0). В этой окрестности ур-е эквивалентно y’(t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0. Рассмотрим задачу Коши в прямоугольнике |t-t0| <= a0; |y – y0| <= b0, лежащем в этой окрестности. В силу непрерывности производной выполнено условие Липшеца. Выполнены все условия т сущ и единственности ур-я разрешенного… (Б6).