- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
Пусть f(t, y) определена и непрерывна в прямоугольнике П = {(t, y): |t-t0| <= T, |y-y0| <= A}. Рассмотрим на отрезке [t0-T, t0 + T] ДУ: y’(t) = f(t, y(t)) с условием y(t0) = y0. Требуется определить y(t) удовлетворяющую условию и уравнению. Эта задача называется задачей с начальным условием (задачей Коши). Рассмотрим отрезок [t1, t2]: t0 – T <= t1 < t2 <= t0 + T, t0 Є [t1, t2]. Функция y-(t) называется решением задачи Коши на отрезке [t1, t2], если y-(t) Є C1[t1, t2], |y-(t) – y0| <= A для любого t Є [t1, t2], y-(t) удовлетворяет уравнению для всех t Є [t1, t2] и условию. Покажем, что решение задачи Коши эквивалентно решению некоторого интегрального уравнения.y(t) = y0 + $<t0, t>f(u, y(u))du. Лемма: Пусть функция y-(t) является решением задачи Коши на отрезке [t1, t2] тогда и только тогда, когда y-(t) Є C[t1, t2], |y-(t) – y0| <= A для t Є [t1, t2] и y-(t) удовлетворяет интегральному уравнению для t Є [t1, t2]. Док-во: Проинтегрируем y’(t) = f(t, y(t)) от t0 до t получим $<t0, t>y-’(u)du = $<t0, t>f(u, y-(u))du, t Є [t1, t2]. Учитывая начальное условие имеем y-(t) = y0 + $<t0, t>f(u, y-(u))du, t Є [t1, t2]. В одну сторону получили. Положим y-(t) такова, что y-(t) Є C[t1, t2], |y-(t) – y0| <= A для t Є [t1, t2] и y-(t) удовлетворяет интегральному уравнению для t Є [t1, t2], те y-(t) = y0 + $<t0, t>f(u, y-(u))du, t Є [t1, t2]. Положив t = t0 получим, что y-(t0) = y0. Так функция y-(t) непрерывна на [t1, t2], то правая часть равенства y-(t) = y0 + $<t0, t>f(u, y-(u))du непрерывно диф-ма как интеграл непрерывной функции с переменным верхним пределом. Значит y-(t) диф-ма на [t1, t2], Продифференцируем равенство. Лемма Гронуолла-Беллмана: Пусть z(t) Є C[a, b] и такова, что 0 <= z(t) <= c + d|$<t0, t>z(u)du|, t Є [a, b], где c >=0, d >0, а t0 – произвольное фиксированное число из [a, b]. Тогда z(t) <= ce^(d|t – t0|), t Є [a. b]. Док-во: рассмотрим t >= t0. Обозначим p(t) = $<t0, t>z(u)du, t Є [t0, b]. Тогда p’(t) = z(t) >= 0, p(t0) = 0. Из условия леммы p’(t) <= c + dp(t), t Є [t0, b]. Умножим неравенство на exp{-d(t-t0)}. Полученное можно переписать как d/dt(p(t)e^(-d(t-t0))) <= ce^(-d(t-t0)), t Є [t0, b]. Проинтегрируем от t0 до t. Получим p(t)e^(-d(t-t0)) – p(t0) <= c/d(1-e^(-d(t-t0))), t Є [t0, b]. Учитывая, что p(t0) = 0 получаем dp(t) <= ce^(d(t-t0)) – c z(t) <= c + dp(t) <= c + ce^(d(t-t0)) – c <= ce^(d(t-t0)) для t Є [t0, b]. Осталось доказать для [a, t0]. Перепишем 0 <= z(t) <= c-d$<t0, t>z(u)du = c + d$<t, t0>z(u)du, t Є [a, t0]. Пусть q(t) = $<t, t0>z(u)du, t Є [a, t0]. Тогда q’(t) = -z(t) <= 0, q(t0) = 0. Те –q’(t)e^(-d(t0-t)) <= ce^(-d(t0-t)) + dq(t)e^(-d(t0-t)), t Є [a, t0]. Перепишем в виде –d/dt(q(t)e^(-d(t0-t)) <= ce^(-d(t0-t)), t Є [a, t0]. Проинтегрируем от t до t0 и получим…. ЧТД.
Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
Функция f(t, y), заданная в прямоугольнике П удовлетворяет в нем условию Липшица по y, если |f(t, y1) – f(t, y2)| <= L|y1-y2|, для любых (t, y1), (t, y2) Є П, где L – положительная постоянная. Замечание: если функция непрерывно диф-ма в прямоугольнике, то она удовлетворяет в нем условию Липшица в силу ограниченности и формулы Лагранджа. Замечание: функция может быть не диф-ма по y, но удовлетворять условию Липшеца по y. Замечание: функция может быть непрерывной, но не удовлетворять условию Липшеца. Т единственности решения задачи Коши. Пусть функция f(t, y) непрерывна в П и удовлетворяет в П условию Липшеца по y. Если y1(t), y2(t) – решения задачи Коши на отрезке [t1, t2], то y1(t) = y2(t) для t Є [t1, t2]. По ЛБ4 получается, что y1(t) = y0 + $<t0, t>f(u, y1(u))du, t Є [t1, t2]; y2(t) =… Вычтем второе уравнение из первого и оценим по модул., получим |y1(t) – y2(t)| <= |$<t0, t>|f(u, y1(u)) – f(u, y2(u))|du|, t Є [t1, t2]. Применим условие Липшеца. Обозначим z(t) = |y1(t) – y2(t)| и перепишем 0 <= z(t) <= L|$<t0, t>z(u)du|, t Є [t1, t2]. Применим Л Гронуолла-Беллмана с c = 0 и d = L, z(t) = 0, t Є [t1, t2] y1(t) = y2(t), t Є [t1, t2] те ЧТД.