- •Обыкновенные Дифференциальные Уравнения.
- •Билет 1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.
- •Билет 2. Понятие решения оду первого порядка. Оду в симметричной форме. Общий интеграл.
- •Билет 4. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла — Беллмана.
- •Билет 5. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 6. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.
- •Билет 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •Билет 8. Особые решения уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной.
- •Билет 9. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-го порядка.
- •Билет 10. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всём отрезке.
- •Билет 11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-го порядка на всём отрезке.
- •Билет 13. Общие свойства линейного оду n-го порядка.
- •Билет 14. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного оду n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 17. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •Билет 18. Построение фср для линейного оду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
- •Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы оду матричному оду. Свойства решения матричного оду.
- •Билет 21. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.
- •Билет 22. Линейная зависимость и независимость решений линейной однородной системы оду. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
- •Билет 23. Фср для линейной однородной системы оду. Теорема о существовании фср. Теорема об общем решении линейной однородной системы оду. Матрициант.
- •Билет 24. Общее решение линейной неоднородной системы оду. Метод вариации постоянных.
- •Билет 25. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы a.
- •Билет 26. Построение фср для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базиса из собственных векторов матрицы а.
- •Билет 27. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).
- •Билет 28. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.
- •Билет 29. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
- •Билет 31. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.
- •Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
- •Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
- •Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
- •Билет 35. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина.
- •Билет 36. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.
- •Билет 37. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
- •Билет 38. Задача Штурма — Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля.
- •Билет 39. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.
- •Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
- •Билет 42. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.
- •Билет 43. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.
- •Билет 44. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет 45. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.
- •Билет 46. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.
- •Билет 47. Задача на условный экстремум.
- •Билет 48. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма —Лиувилля.
Билет 32. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.
y0- Є R^n – точка покоя автономной системы dy-(t)/dt = f-(y-(t)), f-(y0-) = 0. Таким образом, координаты точек покоя находятся из ур-й {f1(y1,…,yn) = 0,…,fn(y1,…,yn)=0}. Если y0- - точка покоя, то функция y-(t) = y0- является независящим от переменной t решением системы. Траектория такого решения – прямая линия в пространстве (t,y1,…,yn), а в фазовом пространстве (y1,…,yn) – одну точку. Будем считать точку покоя y0- устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой по Ляпунову, если соответствующее решение y-(t) = y0- устойчиво,… Для исследования устойчивости точки покоя можно сделать замену переменных y~(t) = y^(t) + y0- и перейти к исследованию нулевого решения системы dy^(t)/dt = F-(y^(t)), F-(y^) = f-(y^ + y0-). Для применения первого метода Ляпунова вычислим элементы матрицы производных A = (aij), aij = dFi/dyj(0,…,0)=dfi/dyj(y0-). Получаем: Т Пусть y0- точка покоя системы, функции fj(y-) дважды непрерывно диф-мы в некоторой окрестности y0-, j=1,…,n. Если все собственные значения A = (dfi(y0-)/dyj) имеют отрицательные вещественные части Relk < 0, для любого k =1,…,n, то точка покоя y0- асимптотически устойчива по Ляпунову. Если же найдется хотя бы одно собственное значение матрицы A = (dfj(y0-)/dyj) с положительной вещественной частью, то точка y0- - неустойчива по Ляпунову.
Билет 33. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.
Рассмотрим краевую задачу для ЛОДУ 2ого порядка: a0(x)y’’(x) + a1(x)y’(x) + a2(x)y(x) = f1(x), 0 <= x <= l, g1y’(0) + j1y(0) = u0, g2y’(l) + j2y(l) = u1. Функции ai(x), i=0,1,2, f1(x) и постоянные g1,g2, j1, j2 заданы. Требуется найти функцию y(x) Є C2[0, l] удовлетворяющую… Предполагаем, что ai(x), f1(x) – непрерывны на отрезке, a0(x) ≠ 0, постоянные g1, j1, g2, j2 таковы, что g1^2 + j1^2 > 0 и g2^2 + j2^2 >0. Почленно разделим ур-е на a0(x), умножим на p(x) = exp($<0, x>a1(s)ds/a0(s)). Выделяя новую полную производную получаем d/dx(p(x)dy/dx) –q(x)y = f2(x) (13), 0 <= x <= l, где p(x) Є C1[0, l], p(x) > 0, а q(x) = -p(x)a2(x)/a0(x), f2(x) = p(x)f1(x)/a0(x) являются непрерывными на [0, l]. Рассмотрим краевые условия. Если u0 = u1 = 0, то краевые условия называются однородными, в противном случае – неоднородными. Пусть y(x) – решение задачи (13). Рассмотрим функцию z(x) = y(x) – v(x), где v(x) – известная дважды непрерывно диф-мая функция, удовлетворяющая краевым условиям. Подставим y(x) = z(x) + v(x) получим для z(x) d/dx(p(x)dz/dx) – q(x)z = f(x), 0 <= x <= l, g1z’(0) + j1z(0) = 0, g2z’(l) + j2z(l) = 0, где f(x) = f2(x) – d/dx(p(x)dv/dx) + q(x)v. Функцию v(x) можно построить с помощью многочлена. Те мы свели неоднородные условия к однородным. Краевая задача называется однородной, если f(x) = 0, и неоднородной в противном случае.
Билет 34. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.
Введем дифференциальный оператор Ly = d/dx(p(x)dy/dx) – q(x)y. Пусть функции y(x) Є C2[0, l] и z(x) Є C2[0, l], тогда можно вычислить z(x)Ly – y(x)Lz = z(x)d/dx(p(x)dy/dx) – y(x)d/dx(p(x)dz/dx) = d/dx[p(x)(z(x)dy/dx – y(x)dz/dx)] для 0 <= x <= l. Это называется тождеством Лагранжа. Пусть y1(x), y2(x) – линейно независимые решения однородного уравнения Ly = 0, те Ly1 = Ly2 = 0. Тогда d/dx[p(x)(y1(x)dy2/dx – y2(x)dy1/dx)] = 0, 0 <= x <= l. Те получили, что для W[y1, y2](x) = y1(x)y2’(x) – y2(x)y1’(x) справедливо p(x)W[y1, y2](x) = c, 0 <= x <= l, где c – постоянная или W[y1, y2](x) = c/p(x), 0 <= x <= l. Интегрируя тождество Лагранжа от 0 до l получим $<0, l>(z(x)Ly – y(x)Lz)dx = p(x)(z(x)y’(x) – y(x)z’(x))|<x=0, x=l> Это называется формулой Грина. Покажем, что если функции y(x) и z(x) удовлетворяют одним и тем же краевым условиям (однородным), то $<0, l>(z(x)Ly – y(x)Lz)dx = 0. Из формулы Грина достаточно доказать, что p(l)(z(l)y’(l) – y(l)z’(l)) – p(0)(z(0)y’(0) – y(0)z’(0)) = 0. Покажем, что z(0)y’(0) – y(0)z’(0) = 0. Если g1 = 0, j1 ≠ 0, y(0) = 0, z(0) = 0 и верно. При g1 ≠ 0 запишем граничные условия g1y’(0)+ j1y(0) = 0, a1z’(0) + j1z(0) = 0, умножим первое на z(0), второе на y(0) и вычтем почленно. Получим ЧТД.